点の反転
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/07/20 16:54 UTC 版)
点 P' は点 P を赤い円に関して反転した点である。 点 O を通る円（青）の、赤い円に関する反転は、点 O を通らない直線（緑）になる。逆もまた然り。 点 O を通らない円（青）の、赤い円に関する反転は、点 O を通らない円（緑）になり、逆もまた然り。 円 O の外側にある点 P の、反転点 P' の作図方法。円 O の半径を r として、直角三角形 OPN, OP'N は相似ゆえ、OP : r は r : OP' に等しい。 円に関する反転では、円の中心が写る先の円の中心へ写るわけではない。 平面において、中心 O, 半径 r の基準円 (reference circle) に関して点 P を反転すると、O を始点として P を通る半直線上で 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「/mathoid/local/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): OP\times OP'=r^{2} を満たす点 P' に写る。反転変換によって O と異なる各点 P がその像 P' へ写るとき、それと同時に点 P' は P に写される。故に、同じ反転変換を二度続けて施した結果として得られる変換は、O を除く平面上の点全体の成す集合上では恒等変換になる。反転変換を対合とするためには、平面上の全ての直線上に載っている唯一の点として無限遠点を導入し、反転の定義域を拡張して、基準円の中心 O と無限遠点とが入れ替わるようにしなければならない。 定義から従うことに、基準円の内側にある各点は基準円の外側へ、外側の各点は内側へそれぞれ写り、中心と無限遠点とが入れ替わる一方、基準円の周上にある各点は何ら影響も受けない。端的に言えば、円の中心に近ければ近いほど反転変換で遠くに写り、遠ければ遠いほど近くへ写るということである。
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