点での連結和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:13 UTC 版)
2つの m-次元多様体の連結和は、各々の多様体の中にある球を削除し、境界として現れる球面を互いに貼り合わせる（英語版）(gluing together)ことにより得ることができる。 多様体が双方とも向きつけられていれば、貼りあわせ写像を反対向きにとることにより、一意に連結和が定義される。構成は球の選ぶにもかかわらず、結果は同相の下に一意である。滑らかな圏ではこの操作は可能で、結果は微分同相の下に一意である。滑らかな圏での場合は、微妙な問題があり、球の境界の間のすべての微分同相が、たとえ向き付けを正しく選択したとしても、合成されたときに同じ多様体を与えるとは限らない。たとえば、ミルナー (Milnor) は、2つの 7-次元胞体がを境界に沿って貼りあわせると、結果はエキゾチック球面（英語版）(exotic sphere)となり、7-球に同相ではあるが微分同相ではなくなることをしめした。しかしながら、張り合わせる標準的な方法が存在して、連結和を一意に定義することができる。この一意性は円板定理（英語版）(disc theorem)に大きく依存していて、すべて明らかになっているわけではない。 連結和の操作は # {\displaystyle \#} により表す。たとえば、 A # B {\displaystyle A\#B} は A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} の和を表す。 連結和の操作は、同一視する写像として球 S m {\displaystyle S^{m}} を持っている、すなわち、 M # S m {\displaystyle M\#S^{m}} は M {\displaystyle M} と同相（もしくは、微分同相）である。 閉曲面の分類は、トポロジーの基本的で歴史的に重要で、任意の閉曲面は球面といくつかのトーラスといくつかの実射影平面（英語版）の連結和として表される。
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