部分多様体に沿った連結和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:13 UTC 版)
M 1 {\displaystyle M_{1}} と M 2 {\displaystyle M_{2}} を 2つの等しい次元の滑らかな向きつけられた多様体とし、 V {\displaystyle V} を滑らかな向きつけられた閉多様体で、閉部分多様体として M 1 {\displaystyle M_{1}} と M 2 {\displaystyle M_{2}} の双方へ埋め込まれているとする。さらに、法バンドル（英語版）(normal bundle)の同型 ψ : N M 1 V → N M 2 V {\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V} で互いのファイバーで向き付けを保つものが存在すると仮定すると、写像 ψ {\displaystyle \psi } は向きつけを保つ微分同相写像 N 1 ∖ V ≅ N M 1 V ∖ V → N M 2 V ∖ V ≅ N 2 ∖ V , {\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,} を引き起こす。ここに各々の法バンドル N M i V {\displaystyle N_{M_{i}}V} は、 V {\displaystyle V} の近傍 N i {\displaystyle N_{i}} で微分同相として同一視し、写像 N M 2 V ∖ V → N M 2 V ∖ V {\displaystyle N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V} は向きつけを保存する法バンドル上の微分同相の接合(involution) v ↦ v / | v | 2 {\displaystyle v\mapsto v/|v|^{2}} である。 V {\displaystyle V} に沿った M 1 {\displaystyle M_{1}} と M 2 {\displaystyle M_{2}} の連結和は、向き付けを保つ微分同相により互いに近傍どうしを張り合わせることにより得られる ( M 1 ∖ V ) ⋃ N 1 ∖ V = N 2 ∖ V ( M 2 ∖ V ) {\displaystyle (M_{1}\setminus V)\bigcup _{N_{1}\setminus V=N_{2}\setminus V}(M_{2}\setminus V)} である。和はときどき、 ( M 1 , V ) # ( M 2 , V ) . {\displaystyle (M_{1},V)\#(M_{2},V).} と書かれることもある。この微分同相のタイプは、2つ V {\displaystyle V} の埋め込みと ψ {\displaystyle \psi } の選択に依存する。 大まかに言うと、各々の部分多様体 V {\displaystyle V} の法線方向のファイバーは、 V {\displaystyle V} のひとつの点を含み、 V {\displaystyle V} に沿った連結和は次のセクションで述べるように、各々のファイバーにそって単連結な連結和である。このことにより、 V {\displaystyle V} に沿った連結和は、ファイバー和(fiber sum)とも呼ばれる。 V {\displaystyle V} が点である場合は、前のセクションの点での連結和を再現する。
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