部分多元環とイデアル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 19:46 UTC 版)
「体上の多元環」の記事における「部分多元環とイデアル」の解説
詳細は「部分構造（英語版）」を参照 体 K 上の多元環の部分多元環 (subalgebra) とは、部分線型空間であって、さらにその空間の任意の二元の積がふたたびその空間に属するようなものを言う。言い換えれば、部分多元環は加法と乗法及びスカラー乗法に関して閉じているような部分集合である。記号で書けば、K-多元環 A の部分集合 L が部分多元環であるとは、任意の x, y ∈ L と c ∈ K に対して xy, x + y, cx ∈ L が成り立つことである。 先の複素数の例を実数体上二次元の多元環と見做せば、実数直線は一次元の部分多元環になる。 K-多元環の左イデアル (left ideal) は、部分線型空間であって、その空間の各元に多元環の任意の元を左から掛けて得られる元が常にその空間に属するという性質を持つものを言う。記号で書けば、K-多元環 A の部分集合 L が左イデアルであるとは、L の任意の元 x, y と A の任意の元 z および K の任意の元について、以下の条件 加法の閉性: x + y ∈ L スカラー乗法の閉性: cx ∈ L 任意左乗法の閉性: zx ∈ L をすべて満足することをいう。最後の条件を「任意右乗法の閉性 xz ∈ L」に取り換えれば右イデアル (right ideal) の定義を得る。両側イデアル (two-sided ideal) は左イデアルでも右イデアルでもあるような部分集合を言う。単に「イデアル」と言った時には、両側イデアルの意味であるのが普通である。もちろん、多元環が可換であるときには、これらのイデアルの概念はいずれも一致してしまうので、この場合は単にイデアルと呼ぶ。上二つの条件は L が A の部分線型空間であることを言うものであることを指摘しておく。また最後の条件からは、任意の左および右イデアルが部分多元環となることがわかる。 いま定義したイデアルの概念が、環のイデアルとは異なる概念であることに留意することは重要である（スカラー倍に関する条件が加わっている）。もちろん、考える多元環が単型であるときには、スカラー倍に関する条件は最後の条件に含まれる。
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