部分和分法
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詳細は「部分和分」を参照 部分積分法の離散版として、以下のように部分和分の公式が成り立つ。 不定和分に関する部分和分 定和分に関する部分和分
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部分和分法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/03/02 04:35 UTC 版)
函数 f(x), g(x) に対し、∑x を不定和分とすると、 ∑ x f ( x ) ( g ( x + 1 ) − g ( x ) ) = f ( x ) g ( x ) − ∑ x g ( x + 1 ) ( f ( x + 1 ) − f ( x ) ) {\displaystyle \sum _{x}f(x)(g(x+1)-g(x))=f(x)g(x)-\sum _{x}g(x+1)(f(x+1)-f(x))} ∑ x f ( x ) Δ g ( x ) = f ( x ) g ( x ) − ∑ x ( g ( x ) + Δ g ( x ) ) Δ f ( x ) , {\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x),} ∑ x f ( x ) Δ g ( x ) + ∑ x g ( x ) Δ f ( x ) = f ( x ) g ( x ) − ∑ x Δ f ( x ) Δ g ( x ) {\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)} と書ける。 不定和分に関する部分和分は、不定積分に関する部分積分 ∫ f d g = f g − ∫ g d f {\displaystyle \int f\,dg=fg-\int g\,df} の離散的なアナロジー（類似対応物）である。比較して部分和分の方は Δf Δg の項が余分に加わっていることに注意。これは部分積分の方では対応する項 df dg は二次の微分として消えることによる。 同様の公式はいわゆる「定和分」についても成立する。すなわち 二つの数列 (fk), (gk) に対して、 ∑ k = m n f k ( g k + 1 − g k ) = [ f n + 1 g n + 1 − f m g m ] − ∑ k = m n g k + 1 ( f k + 1 − f k ) , {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left[f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right]-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k}),} ∑ k = m n f k Δ g k = [ f n + 1 g n + 1 − f m g m ] − ∑ k = m n g k + 1 Δ f k , {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left[f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right]-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}\Delta f_{k},} が成立する（後述）。
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