点への滑らかな射
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/11 00:57 UTC 版)
f {\displaystyle f} を次で定義されるスキームの射とする。 Spec C ( C [ x , y ] ( f = y 2 − x 3 − x − 1 ) ) → Spec ( C ) {\displaystyle {\text{Spec}}_{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} )} ヤコビ行列の判定法を使うとこれが滑らかであることが示せる。ヤコビ行列 [ 3 x 2 − 1 , y ] {\displaystyle [3x^{2}-1,y]} は点 ( 1 / 3 , 0 ) , ( − 1 / 3 , 0 ) {\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)} で0になるが、この点での多項式の値 f ( 1 / 3 , 0 ) = 1 − 1 3 − 1 3 3 f ( − 1 / 3 , 0 ) = 1 3 + 1 3 3 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}} は0ではなく、f で定義されるスキームの上に乗っていない。
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