ファルティングスの定理
(モーデル予想 から転送)
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数論において、モーデル予想(英: Mordell conjecture)とは、Mordell (1922) で提示された予想であり、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。後にこの予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたため、ファルティングスの定理(英: Faltings' theorem)として知られている。
- ^ メイザーの捩れ定理は、バリー・メイザーによる定理で、有理数体上の楕円曲線上の有理点の群の可能である捩れ部分群を分類した定理である。 Cn で位数 n の巡回群を表すと、可能な捩れ部分群は、1 ≤ n ≤ 10 に対しての Cn と C12 とさらに、C2 と C2, C4, C6 あるいは C8 との直和である[疑問点]。 この逆の結果は、対応するモジュラ曲線が有理点ではみな種数 0 となるので、全てのこれらの捩れ構造は、Q 上に無限個の捩れ構造が現れる。
- ^ モーデル・ラング予想は、アーベル多様体と準アーベル多様体上のモーデル予想とマーニン・マンフォード予想を統合するサージ・ラングの一連の予想である。Michael (1995) によって証明された。
- 1 ファルティングスの定理とは
- 2 ファルティングスの定理の概要
- 3 参考文献
モーデル予想
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「フェルマーの最終定理」の記事における「モーデル予想」の解説
詳細は「ファルティングスの定理」および「モーデルの定理」を参照 ゲルト・ファルティングスによるモーデル予想の解決（1983年）により、フェルマー方程式 xn + yn = zn が整数解をもつならば（つまりフェルマー予想が誤りならば）その解の個数は本質的に有限個しかないことが証明される。この「有限個」が「実は 0 個」であることが示されればフェルマー予想は証明できたことになるが、この方向からの絞り込みには行き詰まりが指摘されていた。ともあれ、この時点でフェルマー予想が「ほとんど全ての場合について正しい」ことが判明したと言うことはできた。
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