曲線の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/10 16:13 UTC 版)
（混合ホッジ構造の）定義への動機付けとして、2つの非特異な成分 X1 と X2 から構成される可約な複素代数曲線 X の場合を考える。これらの成分は、横断的に点 Q1 と Q2 で交わることとする。さらに、各々の成分はコンパクトではないが、点 P1,...,Pn を付け加えることでコンパクト化できるものとする。曲線 X の（コンパクトな台を持つ）１次コホモロジー群は１次ホモロジー群の双対であり、それは容易に可視化できる。この群のなかには3つのタイプの1-サイクルがある。第一に、各々の穴（puncture） Pi の周りの小さなループを表す元 1-サイクルαiが存在する。第二に、Xk(k =1,2) のコンパクト化の１次コホモロジー群から来る1-サイクル βj が存在する。ただし、Xk(k =1,2)のコンパクト化の1-サイクルの、Xk の1-サイクルへの標準的な持ち上げは存在せず、これらの元βjは αi を法(modulo)として決定される。第三に、 Q1 から Q2 へのX1上のパスとQ2 からQ1 へのX2 上のパスからなる1-サイクルγ が存在し、これらはαi と βj を法として決定される。これは H1(X) が、次の増加するフィルトレーションを持つことを示唆している。 0 ⊂ W 0 ⊂ W 1 ⊂ W 2 = H 1 ( X ) {\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X)} ただし、 W0 はαi と βj を全て消すような1-コサイクルの全体とし、 W1 はαi を全て消すような1-コサイクルの全体とした。この連続する商 Wn / Wn-1 は、滑らかな完備多様体のn次コホモロジーに起源を持ち、それゆえにウェイト n の純粋ホッジ構造を持っている。
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