曲線の交叉でのスキーム論でのブローアップ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/14 21:15 UTC 版)
「ブローアップ (数学)」の記事における「曲線の交叉でのスキーム論でのブローアップ」の解説
f , g ∈ C [ x , y , z ] {\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]} を d {\displaystyle d} 次の斉次多項式で、一般の位置にある、つまりこれらが定める射影多様体がベズーの定理によって d 2 {\displaystyle d^{2}} 個の点で交わるものとする。スキームの射影的射 Proj ( C [ s , t ] [ x , y , z ] ( s f ( x , y , z ) + t g ( x , y , z ) ) ) ↓ Proj ( C [ x , y , z ] ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}} は、 P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} の d 2 {\displaystyle d^{2}} 個の点でのブローアップのモデルを与える。これはファイバーを見ることにより分かる。点 p = [ x 0 : x 1 : x 2 ] {\displaystyle p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]} を取り、引き戻しの図式 Proj ( C [ s , t ] s f ( p ) + t g ( p ) ) → Proj ( C [ s , t ] [ x , y , z ] ( s f ( x , y , z ) + t g ( x , y , z ) ) ) ↓ ↓ Spec ( C ) → [ x 0 : x 1 : x 2 ] Proj ( C [ x , y , z ] ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}} を見ることにより、 f ( p ) ≠ 0 {\displaystyle f(p)\neq 0} もしくは g ( p ) ≠ 0 {\displaystyle g(p)\neq 0} であればファイバーは点であり、 f ( p ) = g ( p ) = 0 {\displaystyle f(p)=g(p)=0} であればファイバーは P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}} であることがわかる。
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