曲線と円との接触
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/15 21:40 UTC 版)
滑らかな平面曲線 S 上の各点 S(t) に対して、ちょうど一つの接触円（英語版）（その半径は S の t における曲率 κ(t) の逆数）が存在する。曲率が零の点（つまり曲線の変曲点）では接触円は直線となる。各点における接触円の中心（曲率中心）の軌跡は、その曲線の縮閉線である。 曲率の微分 κ′(t) が零ならば、接触円は三次の接触をなし、曲線はその点において頂点（英語版）を持つという。このとき、縮閉線は接触円の中心において尖点を持つ。またこの時の曲率の二階微分の符号が、その曲線の曲率が極小となるか極大となるかを決定する。任意の閉曲線が、少なくとも四つの頂点を持ち、そのうち二つは最大点、二つは最小点である（四頂点定理（英語版））。 一般に、一つの曲線が任意の円と四次の接触を持つことはない。しかし曲線の一径数族との四次の接触が生成的（英語版）に生じ、それは二つの頂点（極大点と極小点）を零化する[要説明]。そのような点において曲率の二階微分は零である。
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