曲線に沿った微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/18 07:35 UTC 版)
「レヴィ・チヴィタ接続」の記事における「曲線に沿った微分」の解説
レヴィ・チヴィタ接続は（アフィン接続に似ていて）、曲線に沿った微分も定義し、これを D によって表すことがある。 (M,g) に滑らかな曲線 γ が与えられ、γ に沿ったベクトル場 V が与えられると、V の微分は、 D t V = ∇ γ ˙ ( t ) V . {\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.} により定義することができる。（公式には、D は引き戻しバンドル（英語版）(pullback bundle) γ*TM 上の引き戻し接続（英語版）(pullback connection)である。 特に、 γ ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)} は曲線 γ 自身に沿ったベクトル場である。 ∇ γ ˙ ( t ) γ ˙ ( t ) {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)} が 0 となるとき、曲線を共変微分の測地線と呼ばれる。共変微分がある計量のレヴィ・チヴィタ接続であれば、接続の測地線は、正確にそれらの弧の長さに比例するパラメータである計量の測地線である。
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