曲線の形状
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 14:31 UTC 版)
「ロジスティック方程式」の記事における「曲線の形状」の解説
横軸を t、縦軸を N とした平面上にロジスティック関数のグラフを描くと、曲線が描かれる。この曲線は前述のとおりにロジスティック曲線と呼ばれる。初期個体数が3つの範囲 N0 < 0, 0 < N0 < K, K < N0 のどれに該当するかによって、曲線の形状は大きく異なってくる。ただし、N0 < 0 の範囲は負の個体数というものを意味するので、生物のモデルとしてはあまり意味がない。時間 t = 0 から t → ∞ の極限までのロジスティック曲線の様相は、それぞれの N0 の値ごとに、以下のようになっている。 まず N0 が環境収容力の半分以下（0 < N0 < K/2 ）の場合、初期状態の点 (t = 0, N = N0) から始まる曲線は、ゆっくりと右肩上がりに登っていく。t が増加するにつれて、曲線の傾き（個体数増加率）は増加していき、曲線は加速度的に立ち上がっていく。しかし、ある時点で曲線は変曲点を迎え、傾きの増加は止む。その後は、傾きは減少しだし、曲線は横倒しになっていく。そして最終的には、傾きは0になり、曲線は水平な直線となる。結局、曲線は、変曲点前では下に凸の曲線、変曲点後では上に凸の曲線となっており、全体としてアルファベットのSのような形を描く。このため、S字型曲線やシグモイド曲線という名称でも呼ばれる。間にある変曲点は個体数増加率が最大となる点で、前述の dN/dt と N のグラフの頂点に相当する。変曲点における個体数は前述のとおり N = K/2 で、このときの時間は t = ln (K/N0 - 1)/r である。ここで ln は自然対数である。最終的に t → ∞ で漸近する水平な直線は N = K の直線であり、時間が経過すると最終的には、個体数は環境収容力の値に収束するということである。 初期個体数が N0 = K/2 の場合は、曲線は最初から変曲点から始まる。K/2 < N0 < K のときは最初から変曲点を過ぎた曲線になる。 初期個体数が環境収容力に一致している場合、N0 = K のときは、その値のまま一定となる。N0 = 0 のときも同様に、N = 0 のままである。 次に、初期個体数が環境収容力を上回っているとき、すなわち N0 > K の場合は、この場合の曲線はS字型ではなく、全体として下に凸の曲線となる。N は N0 から単調に減少しつづけ、この場合も、時間経過に従って K に収束していく。 以上をまとめると、N0 > 0 であれば（個体が存在してさえいれば）、どんな初期個体数であっても、個体数は最終的に常に環境収容力の値に収束していくということである。あるいは、N0 = 0 であれば（個体が存在してなければ）、個体数は 0 のままということである。 最後に、生物個体数のモデルとしては無意味であるが N0 < 0 の場合も見てみると、この場合 N は時間発展に従って減少し続け、有限時間内で −∞ へ発散する曲線を描く。
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