虚数乗法の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/20 03:28 UTC 版)
まずはじめに、虚数乗法をもつ格子の例を見る。複素数体 C の部分群としてはガウス整数環 Z[i] という格子を考える。この格子は C' の n 倍写像で保たれるのみならず、i 倍でも保たれるという対称性をもつ。 虚数乗法を持つ楕円曲線の例は C / Z [ i ] θ {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\theta } そのようなトーラスは自己同型環としてガウス整数を持つ。対応する曲線はすべて次のように書くことが可能であることが知られている。 Y 2 = 4 X 3 − a X {\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX} は、位数 4 の自己同型を持ち、この自己同型はヴァイエルシュトラスの楕円函数の上の i の作用を持つ直線の上で、 Y → − i Y , X → − X {\displaystyle Y\rightarrow -iY,\ \ \ \ X\rightarrow -X} と変換する。 より一般に、楕円函数 f {\displaystyle f} の 2つの周期 ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} とする。虚二次体 K {\displaystyle K} の中の全ての λ {\displaystyle \lambda } に対して、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} と f ( λ z ) {\displaystyle f(\lambda z)} との間に代数的関係式が存在するとき、楕円函数（楕円曲線）は虚数乗法を持っているという。
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