アフィン代数多様体の射
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/23 00:10 UTC 版)
「代数多様体」の記事における「アフィン代数多様体の射」の解説
アフィン代数多様体 V, W の間の射は、多変数解析の場合と同様、V 上の正則関数の組で与えるのが自然である。すなわち、アフィン代数多様体 V から A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} への射 g : V → A k m {\displaystyle g\colon V\to \mathbb {A} _{k}^{m}} を g i ∈ A ( V ) ( i = 1 , … , m ) {\displaystyle g_{i}\in A(V)\;(i=1,\ldots ,m)} を用いて V ∋ a ↦ ( g 1 ( a ) , … , g m ( a ) ) ∈ A k m {\displaystyle V\ni a\mapsto (g_{1}(a),\ldots ,g_{m}(a))\in \mathbb {A} _{k}^{m}} で定める。W が A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} の中で定義されるアフィン代数多様体であり、g の像が W に含まれるとき、g は射 g: V → W を定めるという。射 g: V → W が与えられると、関数の合成によって、座標環の間の準同型写像 g ∗ : A ( W ) → A ( V ) ; g ∗ ( f ( y 1 , … , y m ) ) = f ( g 1 ( x 1 , … , x n ) , … , g m ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle g^{*}\colon A(W)\to A(V);\quad g^{*}(f(y_{1},\ldots ,y_{m}))=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))} k [ y 1 , … , y m ] → A ( W ) → ϕ A ( V ) {\displaystyle k[y_{1},\ldots ,y_{m}]\to A(W){\overset {\phi }{\to }}A(V)} による、yi の像を gi とすると、g = (g1, ..., gm) は、アフィン代数多様体の射 g: V → W を定める。アフィン代数多様体の同型 V ≅ W {\displaystyle V\cong W} を、射 g: V → W および h: W → V が存在して h ◦ g = idV, g ◦ h = idW が成り立つ事と定義すると、誘導される座標環の間の準同型 g* も同型になる。逆に、座標環の間の同型 φ があれば、アフィン代数多様体の同型 g が存在して φ = g* となる。従って、アフィン代数多様体の同型類は k 上有限生成な整域の同型類と1対1に対応している。
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