一般の二階方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/22 08:45 UTC 版)
微分方程式 u ″ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = f ( x ) {\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)} L = D 2 + p ( x ) D + q ( x ) {\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)} を定義すると、L および f(x) が既知として、方程式 Lu = f を u に関して解けばよい、ということになる。 定数変化法を用いるために、まずは対応する斉次方程式 u ″ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = 0 {\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0} を解かねばならない。この方程式は二階であるから、線型独立な二つの解 u1, u2 が得られれば、定数変化法を適用することができる。 求める微分方程式の一般解 uG は u G ( x ) = A ( x ) u 1 ( x ) + B ( x ) u 2 ( x ) {\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)} A ′ ( x ) u 1 ( x ) + B ′ ( x ) u 2 ( x ) = 0 {\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0} u G ′ ( x ) = A ( x ) u 1 ′ ( x ) + B ( x ) u 2 ′ ( x ) {\displaystyle u_{G}'(x)=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)} u G ″ ( x ) = A ( x ) u 1 ″ ( x ) + B ( x ) u 2 ″ ( x ) + A ′ ( x ) u 1 ′ ( x ) + B ′ ( x ) u 2 ′ ( x ) {\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)} L u G = A ( x ) L u 1 ( x ) + B ( x ) L u 2 ( x ) + A ′ ( x ) u 1 ′ ( x ) + B ′ ( x ) u 2 ′ ( x ) {\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)} L u G ( = f ) = A ′ ( x ) u 1 ′ ( x ) + B ′ ( x ) u 2 ′ ( x ) {\displaystyle Lu_{G}(=f)=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)} となる。 以上から連立方程式 ( u 1 ( x ) u 2 ( x ) u 1 ′ ( x ) u 2 ′ ( x ) ) ( A ′ ( x ) B ′ ( x ) ) = ( 0 f ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}} ( A ′ ( x ) B ′ ( x ) ) = 1 W ( u 2 ′ ( x ) − u 2 ( x ) − u 1 ′ ( x ) u 1 ( x ) ) ( 0 f ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={1 \over W}{\begin{pmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}} A ( x ) = − ∫ 1 W u 2 ( x ) f ( x ) d x , B ( x ) = ∫ 1 W u 1 ( x ) f ( x ) d x {\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}\,u_{2}(x)f(x)\,dx,\quad B(x)=\int {1 \over W}\,u_{1}(x)f(x)\,dx} を得る。 斉次方程式が比較的容易に解ける限り、この方法で非斉次方程式の一般解の係数を計算することができて、非斉次方程式の完全な一般解を決定することができる。 A(x) も B(x) も任意定数（積分定数）を除いて定まる点に注意。元々の方程式が二階だったので、積分定数が2個出ることは予期されることである。A(x) または B(x) に定数を加えても、L は線型だから、LuG(x) の値は変わらない。
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