一般のベクトル空間上の格子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
「格子 (数学)」の記事における「一般のベクトル空間上の格子」の解説
通常は Rn の Z-格子を考える一方で、この概念は任意の体上の任意の有限次元ベクトル空間に対して一般化することができる。それは以下のような内容である。 K を体、V を n-次元 K-ベクトル空間とし、 B = { v 1 , … , v n } {\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}} を V の K 上の基底とする。さらに、R を K に含まれる環とすれば、V において B の生成する R-格子 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は L = { ∑ i = 1 n a i v i ∣ a i ∈ R , v i ∈ B } {\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mid a_{i}\in R,\mathbf {v} _{i}\in B\right\}} で与えられる。一般に異なる基底は異なる格子を生成するが、それらの基底の間に R の一般線型群 GLn(R) に属する遷移行列 T があれば（つまり、T の全ての成分は R に属し、T−1 の全ての成分が再び R に属す。これは T の行列式が R× に属するといってもよい。ただし R× は R の乗法可逆元全体の成す単元群である）、それらの基底の生成する格子は同型になる。これは遷移行列 T が二つの格子の間の同型写像を誘導するからである。 このような格子で重要なものとして、K として p-進数体、R として p-進整数環をとった数論における例が挙げられる。 もしベクトル空間がさらに内積空間となっているならば、上記の格子に対してその双対格子と呼ばれる格子が L ∗ = { v ∈ V ∣ ⟨ v , x ⟩ ∈ R , ∀ x ∈ L } = { v ∈ V ∣ ⟨ v , v i ⟩ ∈ R } {\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle \in R,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \in R\}} によって与えられる。
※この「一般のベクトル空間上の格子」の解説は、「格子 (数学)」の解説の一部です。
「一般のベクトル空間上の格子」を含む「格子 (数学)」の記事については、「格子 (数学)」の概要を参照ください。
- 一般のベクトル空間上の格子のページへのリンク
