p-進数とは？わかりやすく解説

$p$ 進数（ピーしんすう、英: $p$ -adic number）とは、1897年に始まるクルト・ヘンゼルの一連の研究の中で導入された^[1]、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して $p$ 進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 $p$ に対して $p$ 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば $p$ 進量子力学を参照）。

「 $p$ 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 $p$ がすでに他の場所で用いられている場合、 $q$ 進数や $l$ 進数などと表現されることもある。

なお、位取り記数法である「 $N$ 進法(表記)」を指して「 $N$ 進数」と呼ばれることがあるが、これは「 $p$ 進数」とは別のものである。

概要

有理数体 $Q$ から実数体 $R$ を構成するには、通常の絶対値の定める距離 $d \infty (x, y) = | x - y |$ に関して有理数体を完備化する必要がある。それに対し、 $p$ 進付値より定まる距離（ $p$ 進距離） $d p$ によって有理数体を完備化したものが $p$ 進数体 $Q p$ である。 $p$ 進数と実数は異なる特徴を持つ別々の数体系である一方で、数論においては極めて深い関係を持つ対象であると捉えられる。有理数から実数を構成する過程は、小数展開に循環しない可算無限桁を許すことを意味する。 $p$ 進数体 $Q p$ における小数展開の類似物は $p$ 進展開である。 $p$ 進数の中で考えた有理数は $p$ の高い冪を因数に含めば含むほど小さいと考えられ、 $p$ 進数の $p$ 進展開は、 $p$ 進整数（ぴーしんせいすう、 $p$ -adic integer）を可算無限桁の整数と捉える見方を与える。これにより、実数の場合と並行して、 $p$ 進数は有理数の算術まで込めた拡張であることを見ることができる。

実数体 $R$ と $p$ 進数体 $Q p$ をひとまとまりにしたアデールの概念が扱われることもある。有理数体のアデール $A Q$ は簡単に言えば、実数体 $R$ と全ての素数 $p$ にわたる $p$ 進数体 $Q p$ との位相まで込めた直積である。有理数体 $Q$ はそのアデール $A Q$ のなかに（対角線に）埋め込むことができる。有理数体をアデールに埋め込んで考えることは、有理数体を素数（と無限遠）を点とする空間 Spec $Z$ 上の代数関数体として捉えるという視点を与える。ここでは、 $Q p$ は有限素点 $p$ における局所的な振る舞いを、 $R$ は無限遠での振る舞いを表すものとして並行に扱われる。このような解析的な取り扱いにおいては、 $p$ 進展開はテイラー展開の類似物であると考えられる。

実数体と $p$ 進数体は有理数体の完備化であるが、一般の代数体でも同様の完備化が考えられる。

略式の解説

本節における $p$ 進数の導入方法や記法は、数学的に正式なものではない。ただし、本節の解釈は、現実には有限の桁しか扱えない計算機の理論においては有用である。後述の $p$ 進展開も参照。

以下の数の表記は $p$ 進表記によるものとする。 $328.125$ のような有限小数に、小数側に無限桁の数を加えて得られる $328.12587453\dots$ のようなものは実数のひとつである。逆に、整数側に無限桁加えたもの、例えば $\dots1246328.125$ のようなものが $p$ 進数であると解釈できる。実数の場合とは逆に、小数側が有限桁でなければならない。 $p$ 進数の中でも、小数点以下がない $\dots1246328$ のようなものは $p$ 進整数と呼ばれるものに対応する。

$p$ 進数同士の足し算、引き算、掛け算は、 $p$ 進表記の有理数における通常のアルゴリズムを自然に無限桁に拡張することで得られ、割り算は掛け算の逆演算として定義される。実数の場合とは異なり、 $p$ 進数においては、別途負の数を導入せずとも加法の逆元が存在する。たとえば2進数で $1$ と $\dots1111$ を足すと $0$ になるため、 $1$ の加法逆元 $-1$ は $\dots1111$ に等しい。また、 $p$ 進数においては有限桁の小数範囲で必ず逆数が存在する。たとえば、実数の世界においては、2進表記で $11$ の逆数は $0.010101\dots$ であるのに対し、2進数の世界においては $11$ の逆数は $\dots010101011$ である。

$p$ は素数である必要があり、さもなくば2つの $0$ でない $p$ 進数の積が $0$ になってしまうことや、逆数が存在しないことがある。 $p$ が素数であればそのようなことはなく、実数の加減乗除とよく似た性質を満たす^{[注釈 1]}。 $p$ 進整数は $p$ 進表記の整数を無限桁に拡張したものであるから、 $p$ 進整数の $n + 1$ 桁目以降を「切り捨てる」事で有限桁の整数が得られる。先に $n + 1$ 桁目以降を切り捨ててから足し算、引き算、掛け算を行っても、先に足し算、引き算、掛け算を行ってから $n + 1$ 桁目以降を切り捨てても同じ結果になる^{[注釈 2]}。

実数に距離の概念があるように、 $p$ 進数にも距離の概念（ $p$ 進距離）がある。例えば2つの実数 $a$ , $b$ の差が $0.0\dots0125\dots$ であるとき、連続する $0$ の部分が長いほど数直線上の $a$ と $b$ は近い。 $p$ 進数の場合、 $a$ と $b$ の差が $\dots1250\dots0$ であるとき、連続する 0 の部分が長いほど $a$ と $b$ は近いとみなされる。

定義

有理数体 $Q$ の $p$ 進付値が定める距離（ $p$ 進距離） $d p$ による完備化を $Q p$ と表し、その元を $p$ 進数と呼ぶ。 $Q p$ は $Q$ における四則演算と距離空間の位相とを自然に拡張した演算と、 $p$ 進距離により定まる位相構造とを持つ。この四則演算に関して $Q p$ は体をなし、演算はこの距離位相に関して連続である。この両立する演算と位相を持つ位相体 $Q p$ を $p$ 進数体という。

$p$ 進数 $x$ は、その付値 $v p (x)$ が $0$ 以上であるとき、 $p$ 進整数と呼ばれる。 $p$ 進整数の全体の成す集合

\{x\in \mathbf {Q} _{p}\mid v_{p}(x)\geqq 0\}

[1]

[注釈 1]

[注釈 2]

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p進数

概要

略式の解説

定義

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