p進周期環

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p進周期環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/27 01:11 UTC 版)

数学の p 進周期環（ピーしんしゅうきかん、英: p-adic period rings）とは、p 進数体に関係するある一群の環の総称である。p 進ホッジ理論や p 進ガロア表現の理論、岩澤理論の研究に使われる^[1][2][3]。ジャン＝マルク・フォンテーヌ（英語版）によって導入された^[4]。

性質

p を素数、K を標数0の完備な離散付値体でその剰余体 k は完全体かつ標数が p であるものとする^[5][4][6]。例えば p 進数体 Q_p の有限次拡大などがこのような体の例である^[5]。剰余体が有限体であることは必ずしも仮定しない。これは剰余体が代数閉体である場合を扱えるようにしておくためである^[6]。

K から p 進周期環^[7]と呼ばれる環 B_dR, B_crys ^{[注 1]}, B_st が構成される（#構成参照）。B_dR は p 進周期の体^[9][10]、B_crys は crystalline period ring（直訳: クリスタリン周期環）^[11] と呼ばれることもある。これらの環は次に述べる性質を持っている。

記号^{[注 2]} 整数環が定義できる体 F に対してその整数環を 𝒪_F で表す。また体 F に対してその代数的閉包を F、絶対ガロア群を G_F で表す。C_K を K の完備化とする^{[注 3]}。W を k に係数を持つヴィット・ベクトル（英語版）の環 W(k) とし、その商体を K₀ とする。K は K₀ 上の有限次完全分岐拡大になる。P₀ を k に係数を持つヴィット・ベクトルの環 W(k) の商体とする。N を0以上の整数の集合とする。整数 n に対して Q_p(n) で G_K が円分指標の n 乗で作用する Q_p 上の1次元ベクトル空間を表す^[12]。C_K(n) も同様。

B_dR

• B_dR は完備離散付値体である^[13]。その剰余体は自然に C_K と同型である。B_dR の離散付値を v、離散付値環 を B+
  dR で表す。
• 整数 i に対して付値が i 以上の元からなる B_dR の部分集合を Filⁱ B_dR で表す。これは B_dR の減少フィルトレーションを定める。
• B_dR には絶対ガロア群 G_K が作用する。剰余体への射影 Fil⁰ B_dR → C_K はこのガロア群の作用と可換である。
• G_K の作用と可換な Q_p 線型な自然な単射 Q_p(1) ↪ Fil¹ B_dR が存在する。この写像による0ではない元の像は B_dR の素元になる。この自然な単射から任意の整数 i に対し自然な単射 Q_p(i) ↪ Filⁱ B_dR が定まる。gri
  Fil B_dR と C_K(i) は G_K の作用も込みで同型である。
• BG_K
  dR = K
• B_dR は K をその有限次拡大に置き換えても変わらない。
• B+
  dR は K を含む^[14]。これは自明なことではない^[15]。
• B+
  dR は離散付値から定義される位相を持つ^[16]。これとは別に、定義 B+
  dR ≔ lim← K⊗_WW(R)/Ker(θ_K)^m に現れる W(R) の位相の逆極限から得られる位相もある。Fontaine & Ouyang (2008, p. 93) はこの位相を natural topology（直訳: 自然位相）と呼んでいる。
• 環準同型 s: C_K → B+
  dR であって θ∘s が恒等写像となるものが存在する。ここで θ は B+
  dR からその剰余体 C_K への自然な準同型である。しかし一意には定まらず G_K の作用と可換にもならない。

B_crys

• B_crys は G_K 作用に関して閉じている B_dR の部分環である^[13]。体の部分環なので整域である^[17]。
• B_crys は P₀ と Q_p(i) を含む（i は任意の整数）^[13]。
• B_crys は B_dR の減少フィルトレーションから誘導される減少フィルトレーションを持つ。このフィルトレーションに関して gri
  Fil B_crys = gri
  Fil B_dR が任意の整数 i に対して成り立つ。これは形式的ローラン級数環 C⟦X⟧[X⁻¹] と係数の絶対値が急減少するべき級数からなるその部分環との関係に似ている。
• B_crys はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 φ: B_crys → B_crys を持つ。これは次の性質を持つ。
  • P₀ のフロベニウスに関して半線型。
  • G_K の作用と可換。
  • t ∈ Q_p(1) ⊂ B_crys に対して φ(t) = pt が成り立つ。
  • Fil⁰ B_dR ∩ Bφ=1
    crys = Q_p
• BG_K
  crys = K₀
• B_crys も K をその有限次拡大に置き換えても変わらない。

B_st

• B_st は G_K 作用に関して閉じている B_crys を含む B_dR の部分環である^[18]。体の部分環なので整域である^[17]。
• B_st は u_s と書かれる一つの元で B_crys 上生成される。u_s は B_crys 上超越的なので^[19]、B_st は B_crys 上の一変数多項式環と同型な環である^[18]。u_s は K の素元 π の取り方によるので、B_st はこの素元の取り方に依存する環である。
• B_st はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 φ: B_st → B_st を持つ。フロベニウスの作用は B_crys 上では B_crys のフロベニウスと同じ。u_s には φ(u_s) = pu_s で作用する。フロベニウスは G_K の作用と可換である。
• B_st はモノドロミー作用素と呼ばれる B_crys 上の導分（英語版） N を持つ。N は N(u_s) = 1 で定義され、G_K の作用と可換である。
• フロベニウスとモノドロミー作用素は関係式 Nφ = pφN を満たす。
• BG_K
  st = K₀
• BN=0
  st = B_crys
• Fil⁰ B_dR ∩ BN=0, φ=1
  st = Q_p
• B_st は B_dR への埋め込みを忘れれば K をその有限次拡大に置き換えても変わらず（モノドロミー作用素は分岐指数に応じて変わる）、K の素元 π の取り方にも依らない。

構成

p 進周期環は次のように構成される。

B_dR

環 R を射影系

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} \cdots }$