射影極限

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射影極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/12 08:07 UTC 版)

数学における逆極限（ぎゃくきょくげん、英: inverse limit）あるいは射影極限（しゃえいきょくげん、英: projective limit）は、正確な言い方ではないが、いくつかの関連する対象を「貼合せる」ような構成法であり、貼合せの具体的な方法は対象の間の射によって決められている。逆極限は任意の圏において考えることができる。

厳密な定義

代数系の射影極限

まず群と準同型からなる逆系 (inverse system) あるいは射影系 (projective system) と呼ばれるものの定義から始める。(I, ≤) を有向半順序集合とする（I が有向集合であることを課さない文献もある）。群の族 (A_i)_i∈I と準同型の族 f_ij: A_j → A_i (i ≤ j) で以下の性質、

1. f_ii は A_i における恒等写像、
2. f_ik = f_ij ∘ f_jk (i ≤ j ≤ k)

を満たすものが与えられたとき、対 ((A_i)_i∈I, (f_ij)_{i≤ j∈I}) を群と準同型の成す I 上の逆系と呼び、各射 f_ij はこの系の遷移射 (transition morphisms) と呼ぶ。

逆系 ((A_i)_i∈I, (f_ij)_{i≤ j∈I}) の逆極限（射影極限）は A_i たちの直積の特定の部分群

$A=\varprojlim _{i\in I}A_{i}=\left\{\mathbf {a} =(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}\mid a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}$

逆極限の普遍性

は全ての i ≤ j に対して可換になる。逆系 (X_i, f_ij) が既知であるとき、その逆極限 X をしばしば

$X=\varprojlim X_{i}$ カテゴリ