一般の二次形式の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/05 06:49 UTC 版)
体 K 上の n-元二次形式とは、K に係数を持つ n-変数の斉二次多項式 q ( x 1 , … , x n ) = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j ( a i j ∈ K ) {\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}\quad (a_{ij}\in K)} のことをいう。x を成分が x1, …, xn で与えられる列ベクトルとし、A = (aij) を q の係数を成分とする K 上のn-次正方行列とすれば、二次形式 q は q ( x ) = t x A x {\displaystyle q(x)={}^{t}xAx} と行列を用いた形に書くことができる（係数行列 A は必ずしも対称でなくともよい）。体 K 上のふたつの n-元二次形式 φ, ψ が互いに同値 (equivalent) であるとは、正則線型変換 T ∈ GLn(K) で ψ ( x ) = φ ( T x ) {\displaystyle \psi (x)=\varphi (Tx)} を満たすようなものが存在するときに言う。 ここでは、K の標数は 2 ではないものと仮定する（標数 2 の体上の二次形式論はそうでない体と比べて重大な差異があり、多くの定義や定理を書き直す必要が生じる）。 二次形式 q の係数行列 A を対称行列 (1/2)(A + tA) に置き換えても、q は不変である。ゆえに初めから A は対称であると仮定して考えてよい。さらにこのとき、対称行列 A は対応する二次形式によって一意的に定まる。同値変換 T をもつ二次形式 φ, ψ に対して、φ に付随する対称行列 A と ψ に付随する対称行列 B との間には B = t T A T {\displaystyle B={}^{t}TAT} なる関係が成立する。二次形式 q に付随する双線型形式 (associated bilinear form) は b q ( x , y ) = 1 2 ( q ( x + y ) − q ( x ) − q ( y ) ) = t x A y = t y A x {\displaystyle b_{q}(x,y)={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))={}^{t}xAy={}^{t}yAx} で与えられる。すなわち、bq は係数行列 A を持つ K 上の対称双線型形式である。逆に、任意の対称双線型形式 b に対して二次形式 q が q ( x ) = b ( x , x ) {\displaystyle q(x)=b(x,x)} と置くことによって定まる。これらの操作は互いに逆の関係にある。この帰結として、標数 2 でない体上では、対称双線型形式についての理論と二次形式についての理論は本質的に同じものであると見ることができる。
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