床関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:37 UTC 版)
床関数は、実数 x に対して x 以下の最大の整数と定義され、 ⌊ x ⌋ , floor ( x ) , [ x ] {\displaystyle \lfloor x\rfloor ,\,\operatorname {floor} (x),\,[x]} などと書かれる。3つめの記号はガウス記号と呼ばれる。カール・フリードリヒ・ガウスが7つの証明を示した平方剰余の相互法則の3番目の証明に用いた（1808年）ことに由来する。日本、中国、ドイツなどでよく使われている。日本の高校数学や大学入試ではガウス記号が使われることがほとんどである。 床関数を数式で表すと次のようになる。 ⌊ x ⌋ = max { n ∈ Z ∣ n ≤ x } . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}.} 実数 x に対し、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } を整数部分、 x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle x-\lfloor x\rfloor } を小数部分と呼ぶ。小数部分は x mod 1 や {x} とも書かれる。整数部分の値は床関数の値そのものであるから、例えば −2.3 の整数部分は −2 ではなく −3 であること、また小数部分は −0.3 ではなく 0.7 であることに注意が必要である（ただし、−2.3 の整数部分を −2 と定義する流儀（「切り捨て式」）もあるが一般的ではない。またプログラミング言語によっては「切り捨て式」を採用しているものがある）。任意の実数の小数部分は、0 以上 1 未満である。 例えば、以下のようになる。 ⌊ 4.68 ⌋ = 4 , { 4.68 } = 0.68 {\displaystyle \lfloor 4.68\rfloor =4,\;\{4.68\}=0.68} ⌊ 5 ⌋ = 5 , { 5 } = 0 {\displaystyle \lfloor 5\rfloor =5,\;\{5\}=0} ⌊ e ⌋ = ⌊ 2.71828 … ⌋ = 2 , { e } = 0.71828 … {\displaystyle \lfloor e\rfloor =\lfloor \mathrm {2.71828\ldots } \rfloor =2,\;\{e\}=0.71828\ldots } ⌊ 53 ⌋ = ⌊ 7.2801 … ⌋ = 7 , { 53 } = 0.2801 … {\displaystyle \lfloor {\sqrt {53}}\rfloor =\lfloor 7.2801\ldots \rfloor =7,\;\{{\sqrt {53}}\}=0.2801\ldots } ⌊ − 4 ⌋ = − 4 , { − 4 } = 0 {\displaystyle \lfloor -4\rfloor =-4,\;\{-4\}=0} ⌊ − 4.68 ⌋ = − 5 , { − 4.68 } = 0.32 {\displaystyle \lfloor -4.68\rfloor =-5,\;\{-4.68\}=0.32} ⌊ − π ⌋ = ⌊ − 3.14159 … ⌋ = − 4 , { − π } = 0.8584 … {\displaystyle \lfloor -\pi \rfloor =\lfloor -3.14159\ldots \rfloor =-4,\;\{-\pi \}=0.8584\ldots } 任意の有理数は帯分数で表せる、すなわち整数と真分数とに分解して表示できるが、この整数と真分数との関係は実数の整数部分と小数部分の関係に拡張され、任意の実数は整数部分と小数部分とに分解して表示できる。
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