床関数の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 08:50 UTC 版)
x > 0 かつ n > 0 のとき、次の式が成り立つ。 ⌊ n x ⌋ ≥ n x − x − 1 x . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{x}}\right\rfloor \geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}.} n が整数のとき、n ≤ x と n ≤ ⌊ x ⌋ {\displaystyle n\leq \lfloor x\rfloor } は同値である。意匠を凝らした言い方では、床関数はガロア接続の片翼を担っており、整数を実数へ埋め込む関数の上随伴である。 床関数を用いると、いくつかの素数生成式をつくることができる (ただしこれらは実際の計算には役立たない)。1つの例として、 n {\textstyle n} 番目の素数 p ( n ) {\textstyle p(n)} は p ( n ) = 1 + ∑ j = 1 2 n ⌊ n ∑ i = 1 j ⌊ cos 2 ( i − 1 ) ! + 1 i π ⌋ n ⌋ . {\displaystyle p(n)=1+\sum _{j=1}^{2^{n}}\left\lfloor {\sqrt[{n}]{\frac {n}{\sum _{i=1}^{j}\left\lfloor \cos ^{2}{\frac {(i-1)!+1}{i}}\pi \right\rfloor }}}\right\rfloor .} 互いに素である正の整数 m, n に対し、次の式が成り立つ。 ∑ i = 1 n − 1 ⌊ i m n ⌋ = ( m − 1 ) ( n − 1 ) 2 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}.} ビーティの定理（英語版）は、任意の正の無理数が、床関数を用いて自然数の集合を2つに分ける方法を表している。 正の整数 k を n 進法で表すと、 ⌊ log n k ⌋ + 1 {\displaystyle \lfloor \log _{n}k\rfloor +1} 桁となる。
※この「床関数の性質」の解説は、「床関数と天井関数」の解説の一部です。
「床関数の性質」を含む「床関数と天井関数」の記事については、「床関数と天井関数」の概要を参照ください。
- 床関数の性質のページへのリンク
