この項目では、数学関数について説明しています。プログラミング言語の関数については「端数処理 」をご覧ください。
床関数
天井関数
床関数 （ゆかかんすう、英 : floor function ）と天井関数 （てんじょうかんすう、英 : ceiling function ）は、整数関数の一種で、実数 に対してそれぞれ、自身以下の最大、自身以上の最小の整数 を出力する関数 である。
英語の floor , ceiling といった名称と、
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil x\rceil }
APL の元となる A Programming Language という本の中でケネス・アイバーソン によって1962年 に導入された[ 1] 切下げ関数 、ceulingは切上げ関数 とも訳される（非整数部分を「切る」という意味）。
床関数と天井関数の間には
⌈
x
⌉
=
−
⌊
−
x
⌋
{\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }
の関係があるため、どちらで表しても本質的には同様となる。
床関数 は、実数 x に対して x 以下の最大の整数 と定義され、
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
floor
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {floor} (x)}
[
x
]
{\displaystyle [x]}
などと書かれる。3番目の記号 はガウス記号 と呼ばれる。カール・フリードリヒ・ガウス が7つの証明を示した平方剰余の相互法則 の3番目の証明に用いた（1808年）ことに由来する[ 2] [ 3]
床関数の定義を数式で表すと次のようになる：
⌊
x
⌋
:=
max
{
n
∈
Z
∣
n
≤
x
}
.
{\displaystyle \lfloor x\rfloor :=\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}.}
実数 x に対し、
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
整数部分 、
x
−
⌊
x
⌋
{\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }
小数 部分x mod 1{x } とも書かれる。例えば、入力値が0以上や整数なら以下のようになる：
n を任意の整数とすると、
⌊
n
⌋
=
n
,
{
n
}
=
0
{\displaystyle \lfloor n\rfloor =n,\;\{n\}=0}
⌊
1.7
⌋
=
1
,
{
1.7
}
=
0.7
{\displaystyle \lfloor 1.7\rfloor =1,\;\{1.7\}=0.7}
⌊
4
3
⌋
=
1
,
{
4
3
}
=
1
3
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {4}{3}}\right\rfloor =1,\;\left\{{\frac {4}{3}}\right\}={\frac {1}{3}}}
⌊
3
⌋
=
⌊
1.732
⋯
⌋
=
1
,
{
3
}
=
3
−
1
=
0.732
⋯
{\displaystyle \lfloor {\sqrt {3}}\rfloor =\lfloor 1.732\cdots \rfloor =1,\;\{{\sqrt {3}}\}={\sqrt {3}}-1=0.732\cdots }
⌊
π
⌋
=
⌊
3.14
⋯
⌋
=
3
,
{
π
}
=
π
−
3
=
0.14
⋯
{\displaystyle \lfloor \pi \rfloor =\lfloor 3.14\cdots \rfloor =3,\;\{\pi \}=\pi -3=0.14\cdots }
⌊
e
⌋
=
⌊
2.71
⋯
⌋
=
2
,
{
e
}
=
e
−
2
=
0.71
⋯
{\displaystyle \lfloor e\rfloor =\lfloor 2.71\cdots \rfloor =2,\;\{e\}=e-2=0.71\cdots }
（π は円周率 、e はネイピア数 ）
なお、入力値が負非整数の場合は、整数部分・小数部分は小数表示のそれぞれ小数点以上・以下の部分とならない ことに注意する必要がある：
⌊
−
1.7
⌋
=
−
2
,
{
−
1.7
}
=
0.3
{\displaystyle \lfloor -1.7\rfloor =-2,\;\{-1.7\}=0.3}
⌊
−
1.7
⌋
{\displaystyle \lfloor -1.7\rfloor }
{
−
1.7
}
{\displaystyle \{-1.7\}}
⌊
−
4
3
⌋
=
−
2
,
{
−
4
3
}
=
2
3
{\displaystyle \left\lfloor -{\frac {4}{3}}\right\rfloor =-2,\;\left\{-{\frac {4}{3}}\right\}={\frac {2}{3}}}
⌊
−
3
⌋
=
⌊
−
1.732
⋯
⌋
=
−
2
,
{
−
3
}
=
2
−
3
=
0.267
⋯
{\displaystyle \lfloor -{\sqrt {3}}\rfloor =\lfloor -1.732\cdots \rfloor =-2,\;\{-{\sqrt {3}}\}=2-{\sqrt {3}}=0.267\cdots }
⌊
−
π
⌋
=
⌊
−
3.14
⋯
⌋
=
−
4
,
{
−
π
}
=
4
−
π
=
0.85
⋯
{\displaystyle \lfloor -\pi \rfloor =\lfloor -3.14\cdots \rfloor =-4,\;\{-\pi \}=4-\pi =0.85\cdots }
−1.2 の整数部分を −1 と定義する流儀（「0への丸め 」）もあるが一般的ではない。
正の有理数 の帯分数 表示は、この整数部分と小数部分（真分数 ）の和分解への表示である。
床関数と密接に関係しているのが天井関数 である。天井関数は実数 x に対して x 以上の最小の整数と定義され、
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil x\rceil }
ceil
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {ceil} (x)}
ceiling
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {ceiling} (x)}
などと書かれる。これを数式で表すと次のようになる：
⌈
x
⌉
:=
min
{
n
∈
Z
∣
x
≤
n
}
.
{\displaystyle \lceil x\rceil :=\min\{n\in \mathbb {Z} \mid x\leq n\}.}
例えば、以下のようになる。
n を任意の整数とすると、
⌈
n
⌉
=
n
{\displaystyle \lceil n\rceil =n}
⌈
1.7
⌉
=
2
{\displaystyle \lceil 1.7\rceil =2}
⌈
3
⌉
=
⌈
1.732
⋯
⌉
=
2
{\displaystyle \lceil {\sqrt {3}}\rceil =\lceil 1.732\cdots \rceil =2}
⌈
−
π
⌉
=
⌈
−
3.14
⋯
⌉
=
−
3
{\displaystyle \lceil -\pi \rceil =\lceil -3.14\cdots \rceil =-3}
以下 x は任意の実数とする。
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
整数
⌊
x
⌋
≤
x
<
⌊
x
⌋
+
1
{\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1}
であるが、上記2つが床関数を特徴付ける 。
同様に、天井関数は
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil x\rceil }
⌈
x
⌉
−
1
<
x
≤
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil x\rceil -1<x\leq \lceil x\rceil }
によって特徴付けられる。
床関数と天井関数の関係は、x が整数、非整数であるかによってそれぞれ
⌈
x
⌉
−
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor }
となる。床関数と天井関数の基本不等式を併せると
⌈
x
⌉
−
1
≤
⌊
x
⌋
≤
x
≤
⌈
x
⌉
≤
⌊
x
⌋
+
1
{\displaystyle \lceil x\rceil -1\leq \lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil \leq \lfloor x\rfloor +1}
任意の整数 n に対し、
⌊
n
+
x
⌋
=
n
+
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor n+x\rfloor =n+\lfloor x\rfloor }
⌈
n
+
x
⌉
=
n
+
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil n+x\rceil =n+\lceil x\rceil }
床関数と天井関数は互いに他方を表せる：
⌈
x
⌉
=
−
⌊
−
x
⌋
{\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }
⌊
x
⌋
=
−
⌈
−
x
⌉
{\displaystyle \lfloor x\rfloor =-\lceil -x\rceil }
床関数・天井関数は冪等 である：
⌊
⌊
x
⌋
⌋
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor }
⌈
⌈
x
⌉
⌉
=
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil }
任意の整数 n に対し、
⌊
n
2
⌋
+
⌈
n
2
⌉
=
n
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil =n}
床関数と天井関数は広義増加 である：
x
1
<
x
2
⇒
⌊
x
1
⌋
≤
⌊
x
2
⌋
{\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor }
x
1
<
x
2
⇒
⌈
x
1
⌉
≤
⌈
x
2
⌉
{\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil }
床関数・天井関数は、区分的 に定数関数 であり、整数点（すなわち、整数となる x ）で不連続 であるが半連続 （床関数は上半連続、天井関数は下半連続）である。床関数・天井関数の非整数点での微分係数 が存在し、0 である。
x が整数でないとき、床関数と天井関数は次のようにフーリエ級数 展開できる：
⌊
x
⌋
=
x
−
1
2
+
1
π
∑
k
=
1
∞
sin
(
2
π
k
x
)
k
.
{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}
⌈
x
⌉
=
x
+
1
2
+
1
π
∑
k
=
1
∞
sin
(
2
π
k
x
)
k
.
{\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}
⌊
x
⌋
=
x
−
1
π
arccot
(
cot
(
π
x
)
)
.
{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{\pi }}\operatorname {arccot} {\bigl (}\cot(\pi x){\bigr )}.}
⌈
x
⌉
=
x
+
1
π
arccot
(
cot
(
−
π
x
)
)
.
{\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{\pi }}\operatorname {arccot} {\bigl (}\cot(-\pi x){\bigr )}.}
床関数と天井関数の平均は次のようにフーリエ級数展開できる：
1
2
(
⌊
x
⌋
+
⌈
x
⌉
)
=
x
+
1
π
∑
k
=
1
∞
sin
(
2
π
k
x
)
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\lfloor x\rfloor +\lceil x\rceil \right)=x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}
x が整数、n 正 の整数のとき、次の式が成り立つ。
⌊
x
n
⌋
≥
x
n
−
n
−
1
n
.
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \geq {\frac {x}{n}}-{\frac {n-1}{n}}.}
n が整数のとき、n ≤ x
n
≤
⌊
x
⌋
{\displaystyle n\leq \lfloor x\rfloor }
ガロア接続 の片翼を担っており、整数を実数へ埋め込む関数の上随伴である。床関数を用いると、いくつかの素数 生成式を作ることができる（ただしこれらは実際の計算には役立たない）。1つの例として、n 番目の素数 pn は
p
n
=
1
+
∑
j
=
1
2
n
⌊
n
∑
i
=
1
j
⌊
cos
2
(
i
−
1
)
!
+
1
i
π
⌋
n
⌋
.
{\displaystyle p_{n}=1+\textstyle \sum \limits _{j=1}^{2^{n}}\left\lfloor {\sqrt[{n}]{\dfrac {n}{\sum \limits _{i=1}^{j}\left\lfloor \cos ^{2}{\frac {(i-1)!+1}{i}}\pi \right\rfloor }}}\right\rfloor .}
エルミートの恒等式 (Hermite’s identity)：実数 a , 正の整数 n に対し、
⌊
n
a
⌋
=
∑
i
=
0
n
−
1
⌊
a
+
i
n
⌋
.
{\displaystyle \lfloor na\rfloor =\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n-1}\left\lfloor a+{\dfrac {i}{n}}\right\rfloor .}
互いに素 である正の整数 m , n [ 4]
∑
i
=
1
n
−
1
⌊
i
m
n
⌋
=
(
m
−
1
)
(
n
−
1
)
2
.
{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\dfrac {im}{n}}\right\rfloor ={\dfrac {(m-1)(n-1)}{2}}.}
自然数 n に対し、n の 1 以外の正の約数 の個数を an とすると、
∑
i
+
j
=
n
+
1
i
,
j
≥
1
⌊
i
j
⌋
=
∑
k
=
2
n
+
1
a
k
{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle i+j=n+1 \atop \scriptstyle i,j\geq 1}\left\lfloor {\dfrac {i}{j}}\right\rfloor =\textstyle \sum \limits _{k=2}^{n+1}a_{k}}
オンライン整数列大辞典 の数列 A002541 ）
レイリーの定理 は、1 より大きい無理数 が、床関数を用いて自然数の集合を2つに分ける方法を表している。ワイソフのゲーム （2山の片方からまたは、両方から同数ずつ取る石取りゲーム）の後手必勝形は
(
⌊
n
φ
⌋
,
⌊
n
φ
2
⌋
)
{\displaystyle (\lfloor n\varphi \rfloor ,\lfloor n\varphi ^{2}\rfloor )}
n は 0 以上の整数、φ は黄金比 ）
正の整数 k を n 進法
⌊
log
n
k
⌋
+
1
{\displaystyle \lfloor \log _{n}k\rfloor +1}
ルジャンドルの公式 ：自然数 n の階乗 が素数 p で（整数の範囲で）割り切れる回数は
∑
i
=
1
⌊
log
p
n
⌋
⌊
n
p
i
⌋
{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\lfloor \log _{p}n\rfloor }\left\lfloor {\dfrac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }
正n 角形 （n は3以上の自然数）の対角線 の長さの種類は
⌊
n
2
⌋
−
1
(
=
2
n
−
5
+
(
−
1
)
n
4
)
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1{\Bigl (}{=}\;{\frac {2n-5+(-1)^{n}}{4}}{\Bigr )}}
実数 x ≥ 0制限 すると、床関数・天井関数とは小数第1位での切り捨て・切り上げ である。これを利用して、位取り記数法 表示での任意の位での切り捨てや四捨五入 を床関数で表すことができる。
実数 x の小数点以下を四捨五入した値は、次の式で表される：
⌊
x
+
0.5
⌋
(
x
≥
0
)
{\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor \quad (x\geq 0)}
⌈
x
−
0.5
⌉
(
x
≤
0
)
{\displaystyle \lceil x-0.5\rceil \quad (x\leq 0)}
以下十進法 表示とする。実数 x ≥ 0
10n の位での切り捨ては
10
n
+
1
⌊
x
10
n
+
1
⌋
{\displaystyle 10^{n+1}\left\lfloor {\frac {x}{10^{n+1}}}\right\rfloor }
小数第n 位での切り捨ては
1
10
n
−
1
⌊
10
n
−
1
x
⌋
{\displaystyle {\frac {1}{10^{n-1}}}\lfloor 10^{n-1}x\rfloor }
10n の位での四捨五入は
10
n
+
1
⌊
x
10
n
+
1
+
0.5
⌋
{\displaystyle 10^{n+1}\left\lfloor {\frac {x}{10^{n+1}}}+0.5\right\rfloor }
小数第n 位での四捨五入は
1
10
n
−
1
⌊
10
n
−
1
x
+
0.5
⌋
{\displaystyle {\frac {1}{10^{n-1}}}\lfloor 10^{n-1}x+0.5\rfloor }
床関数は
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil x\rceil }
La Te X では \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil と書かれる。Unicode では U+2308 から U+230B に割り当てられている。
記号
Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
⌈
U+2308-⌈⌈⌈LEFT CEILING
⌉
U+2309-⌉⌉⌉RIGHT CEILING
⌊
U+230A-⌊⌊⌊LEFT FLOOR
⌋
U+230B-⌋⌋⌋RIGHT FLOOR
Iverson, Kenneth E. (1962) (English), A Programming Language , Wiley, ISBN 0-471-43014-5 ,
OCLC 523128 Gauss, Carl Friedrich (1808) (Latin), Theorematis arithmetici demonstratio nova 16 , Commentations societatis regiae scientiarum Gottingensis, pp. 5-8, https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN23599524X?tify=%7B%22pages%22:%5B9%5D%7D J.C.F.ガウス 著、高瀬正仁 訳『ガウス 数論論文集』筑摩書房 〈ちくま学芸文庫〉、2012年7月10日。
ISBN 978-4-480-09474-2 。
![{\displaystyle [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07548563c21e128890501e14eb7c80ee2d6fda4d)
![{\displaystyle p_{n}=1+\textstyle \sum \limits _{j=1}^{2^{n}}\left\lfloor {\sqrt[{n}]{\dfrac {n}{\sum \limits _{i=1}^{j}\left\lfloor \cos ^{2}{\frac {(i-1)!+1}{i}}\pi \right\rfloor }}}\right\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e18d3cac1a71d56f5f1885334b9c18ee81caad)
