床関数と天井関数の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:37 UTC 版)
「床関数と天井関数」の記事における「床関数と天井関数の性質」の解説
以下 x は任意の実数とする。次の式が成り立つ。 ⌊ x ⌋ ≤ x < ⌊ x ⌋ + 1 {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1} x − 1 < ⌊ x ⌋ ≤ x {\displaystyle x-1<\lfloor x\rfloor \leq x} ⌈ x ⌉ − 1 ≤ ⌊ x ⌋ ≤ x ≤ ⌈ x ⌉ ≤ ⌊ x ⌋ + 1 {\displaystyle \lceil x\rceil -1\leq \lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil \leq \lfloor x\rfloor +1} ⌈ x ⌉ = − ⌊ − x ⌋ {\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor } ⌊ x ⌋ = − ⌈ − x ⌉ {\displaystyle \lfloor x\rfloor =-\lceil -x\rceil } 任意の整数 k に対し、 ⌊ k 2 ⌋ + ⌈ k 2 ⌉ = k {\displaystyle \left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {k}{2}}\right\rceil =k} . 床関数と天井関数は広義単調増加関数である、すなわち x 1 ≤ x 2 ⇒ ⌊ x 1 ⌋ ≤ ⌊ x 2 ⌋ {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor } x 1 ≤ x 2 ⇒ ⌈ x 1 ⌉ ≤ ⌈ x 2 ⌉ {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil } 床関数と天井関数は冪等である、すなわち ⌊ ⌊ ⋯ ⌊ x ⌋ ⋯ ⌋ ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ {\displaystyle \left\lfloor \left\lfloor \cdots \left\lfloor x\right\rfloor \cdots \right\rfloor \right\rfloor =\left\lfloor \lfloor x\rfloor \right\rfloor =\lfloor x\rfloor } ⌈ ⌈ ⋯ ⌈ x ⌉ ⋯ ⌉ ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ {\displaystyle \left\lceil \left\lceil \cdots \left\lceil x\right\rceil \cdots \right\rceil \right\rceil =\left\lceil \lceil x\rceil \right\rceil =\lceil x\rceil } 任意の整数 k に対し、 ⌊ k + x ⌋ = k + ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor {k+x}\rfloor =k+\lfloor x\rfloor } ⌈ k + x ⌉ = k + ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil {k+x}\rceil =k+\lceil x\rceil } 床関数も天井関数も連続ではないが、半連続（床関数は上半連続、天井関数は下半連続）である。床関数と天井関数は区分的に定数関数であり、微分係数が存在する x（すなわち、整数でない x）では微分係数は 0 である。 x の小数点以下を四捨五入した値は、次の式で表される。 ⌊ x + 0.5 ⌋ ( x ≥ 0 ) {\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor \quad (x\geq 0)} ⌈ x − 0.5 ⌉ ( x ≤ 0 ) {\displaystyle \lceil x-0.5\rceil \quad (x\leq 0)} x が整数でないとき、床関数と天井関数は次のようにフーリエ級数展開できる。 ⌊ x ⌋ = x − 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.} ⌈ x ⌉ = x + 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.} 床関数と天井関数の平均は次のようにフーリエ級数展開できる。 1 2 ( ⌊ x ⌋ + ⌈ x ⌉ ) = x + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x ) k . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\lfloor x\rfloor +\lceil x\rceil \right)=x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}
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