はいちゅう‐りつ【排中律】
読み方：はいちゅうりつ
⇒排中原理
排中律
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/22 04:22 UTC 版)
排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 P に対し「P であるか、または P でない」という命題は常に成り立つという原理である。
概要
ラテン語で「第三の命題が排除される原理」 Principium tertii exclusiあるいは「第三の命題（可能性）は存在しない」 Tertium non daturと称され、英語ではLaw of excluded middle（排中律・排中原理・排中法）または Law of the excluded third（排除される第三者の原理[1]、第三者拒斥の原理[2]）と呼ばれる。
排中律は任意の命題Pに対してそれが成り立つか成り立たないかのいずれか一方であって、その中間は無いことを述べた論理学の法則であり、 P ∨ ￢P はつねに真（恒真）であるという主張であると考えてよい[3]。「すべての命題は真または偽のいずれかの真理値を持つ」という二値原理（英: Principle of bivalence）とは直感的には同じものに感じられ古典論理学では同等のものと扱われるが、様相論理学においては異なるものである（二重否定の除去も参照）。
論理の古典的体系では、同一律、無矛盾律とともに、思考の三原則を成す[4]。ただし、論理体系によっては等価な別の主張（二重否定の除去やパースの法則など）が公理として採用されることもある。
直観主義論理においては排中律は公理として採用されておらず、また排中律は直観主義論理の定理ではない（すなわち、排中律は直観主義論理において証明できない）。ただし、排中律の二重否定 ￢￢(P ∨ ￢P) [注釈 1]や三重否定除去 ￢￢￢P → ￢P [注釈 2]などは直観主義論理においても証明可能であり、すなわち排中律が否定されているわけでもない。
誤謬の一種である誤った二分法のことを「排中の誤謬」（英語: the fallacy of the excluded middle）と呼ぶことがある[5][6]が、それぞれの定義の通りこれらは異なる概念である。
例
次の命題 P について考える。
- 「ソクラテスは死ぬ」
この命題に対して、排中律とは、
- 「ソクラテスは死ぬかあるいは死なないかのどちらかである」
という命題 P ∨ ¬P はつねに成立する（常に真である）、とする主張である（それ以外の第三の状態や中間の状態を取らない）。
この主張は古典論理（形式論理学）における基本的な定義であり、命題 P の内容によらず適用できる。
排中律に依存した論証の例を次に示す。これは、よく知られた例である[7]。
a と b ２つの無理数からなるabが有理数となる a 、 bが存在する。
- Aquinas, Thomas, "Summa Theologica", Fathers of the English Dominican Province (trans.), Daniel J. Sullivan (ed.), vols. 19–20 in Robert Maynard Hutchins (ed.), Great Books of the Western World, Encyclopedia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Cited as GB 19–20.
- Aristotle, "Metaphysics", W.D. Ross (trans.), vol. 8 in Robert Maynard Hutchins (ed.), Great Books of the Western World, Encyclopedia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Cited as GB 8. 1st published, W.D. Ross (trans.), The Works of Aristotle, Oxford University Press, Oxford, UK.
- Martin Davis 2000, Engines of Logic: Mathematicians and the Origin of the Computer", W. W. Norton & Company, NY, ISBN 0-393-32229-7 pbk.
- Dawson, J., Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel, A.K. Peters, Wellesley, MA, 1997.
- van Heijenoort, J., From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reprinted with corrections, 1977.
- * Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1923, On the significance of the principle of excluded middle in mathematics, espcecially in function theory [reprinted with commentary, p. 334, van Heijenoort]
- * Andrei Nikolaevich Kolmogorov, 1925, On the principle of excluded middle, [reprinted with commentary, p. 414, van Heijenoort]
- * Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1927, On the domains of definitions of functions,[reprinted with commentary, p. 446, van Heijenoort] Although not directly germane, in his (1923) Brouwer uses certain words defined in this paper.
- * Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1927(2), Intuitionistic reflections on formalism,[reprinted with commentary, p. 490, van Heijenoort]
- Stephen C. Kleene 1952 original printing, 1971 6th printing with corrections, 10th printing 1991, Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0 7204 2103 9.
- Kneale, W. and Kneale, M., The Development of Logic, Oxford University Press, Oxford, UK, 1962. Reprinted with corrections, 1975.
- Alfred North Whitehead and Bertrand Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge at the University Press 1962 (Second Edition of 1927, reprinted). Extremely difficult because of arcane symbolism, but a must-have for serious logicians.
- Bertrand Russell, The Problems of Philosophy, With a New Introduction by John Perry, Oxford University Press, New York, 1997 edition (first published 1912). Very easy to read: Russell was a wonderful writer.
- Bertrand Russell, The Art of Philosophizing and Other Essays, Littlefield, Adams & Co., Totowa, NJ, 1974 edition (first published 1968). Includes a wonderful essay on "The Art of drawing Inferences".
- Hans Reichenbach, Elements of Symbolic Logic, Dover, New York, 1947, 1975.
- Tom Mitchell, Machine Learning, WCB McGraw-Hill, 1997.
- Constance Reid, Hilbert, Copernicus: Springer-Verlag New York, Inc. 1996, first published 1969. Contains a wealth of biographical information, much derived from interviews.
- Bart Kosko, Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic, Hyperion, New York, 1993. Fuzzy thinking at its finest. But a good introduction to the concepts.
- David Hume, An Inquiry Concerning Human Understanding, reprinted in Great Books of the Western World Encyclopedia Britannica, Volume 35, 1952, p.449ff. This work was published by Hume in 1758 as his rewrite of his "juvenile" Treatise of Human Nature: Being An attempt to introduce the experimental method of Reasoning into Moral Subjects Vol. I, Of The Understanding first published 1739, reprinted as: David Hume, A Treatise of Human Nature, Penguin Classics, 1985. Also see: David Applebaum, The Vision of Hume, Vega, London, 2001: a reprint of a portion of An Inquiry starts on p. 94ff
関連項目
外部リンク
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「排中律」の例文・使い方・用例・文例
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