パースの法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/18 23:57 UTC 版)
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。
命題計算では、パースの法則は ((P→Q)→P)→P のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Pについて、命題Qが存在して、「PならばQ」からPが真であることが従うときには、Pは真でなければならないとなる。とりわけ、Qとして偽を選んだ場合には、Pから偽が従うときは常にPが真であるならば、Pは真であるとなる。
パースの法則は直観論理や中間論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない。
カリー＝ハワード同型対応の下では、パースの法則は継続演算子(例えばSchemeにおけるcall/cc)の型である[1]。
歴史
パース自身による法則の言明:
- A fifth icon is required for the principle of excluded middle and other propositions connected with it. One of the simplest formulae of this kind is:
| {(x → y) → x} → x. |
- This is hardly axiomatical. That it is true appears as follows. It can only be false by the final consequent x being false while its antecedent (x → y) → x is true. If this is true, either its consequent, x, is true, when the whole formula would be true, or its antecedent x → y is false. But in the last case the antecedent of x → y, that is x, must be true. (Peirce, the Collected Papers 3.384).
続いて、法則からただちに以下が得られることを指摘している:
- From the formula just given, we at once get:
| {(x → y) → a} → x, |
- where the a is used in such a sense that (x → y) → a means that from (x → y) every proposition follows. With that understanding, the formula states the principle of excluded middle, that from the falsity of the denial of x follows the truth of x. (Peirce, the Collected Papers 3.384).
注意: ((x→y)→a)→x はトートロジーではない。しかし、[a→x]→[((x→y)→a)→x] はトートロジーである。
パースの法則の別証明
パースの法則を示すということはP→QやQが真であることをいうのではなく、(P→Q)→Pのみを使ってPを導くことである。P→(P→Q)を使うのでもないことに注意(後件肯定を見よ)。
単純な証明: 
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