公式なステートメント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 15:53 UTC 版)
「レフシェッツ不動点定理」の記事における「公式なステートメント」の解説
この定理を公式に述べると、 f : X → X {\displaystyle f:X\rightarrow X} をコンパクトな三角化可能空間（英語版）(triangulable space) X からそれ自身への連続写像とする。f のレフシェッツ数(Lefschetz number) Λf を Λ f := ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k T r ( f ∗ | H k ( X , Q ) ) {\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {Tr} (f_{*}|H_{k}(X,\mathbb {Q} ))} により定義する。 これは、 H k ( X , Q ) {\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )} 上の f {\displaystyle f} により誘導された線型写像の行列のトレースの有限交代和であり、 H k ( X , Q ) {\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )} は有理数を係数にもつ X {\displaystyle X} の特異ホモロジー(singular homology)である。 レフシェッツ不動点定理の単純なバージョンは、次のようになる。 Λ f ≠ 0 {\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,} とすると、f は少なくとも一つの不動点を持っている、すなわち、少なくとも X の点 x が一つ存在し、f(x) = x となる。実際、レフシェッツ数はホモロジーレベルで定義されているので、結果は f へホモトピックな写像が同様に一つの不動点を持っているということへ拡張することができる。 しかしながら、一般に逆は正しくはないことに注意する。 f が不動点を持つ場合でも Λf は 0 であることもある。
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