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行列の階数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/01 07:21 UTC 版)

線型代数学における行列の階数（かいすう、rank; ランク）は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。

^ 証明: 階数–退化次数定理を不等式 $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B)$ に適用すればよい
^ 証明: 写像 $C\colon \ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ は矛盾なく定義されて、単射である。したがって退化次数に対する不等式が得られるが、それを階数–退化次数定理で階数に関するものへ読み替えればよい。あるいは別法として、任意の部分線型空間 $M$ に対し $dim(AM) \leq dim(M)$ が成り立つから、これを $BC$ の像の $B$ の像における（直交）補空間の定める部分空間（次元は $rank(B) - rank(BC)$ ）を $M$ として適用する。その $A$ による像は次元 $rank(AB) - rank(ABC)$ である。

^ Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359
^ ^a ^b Mackiw, G. (1995), “A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix”, Mathematics Magazine 68 (4)
^ 黒木哲徳『なっとくする数学記号』講談社〈ブルーバックス〉、2021年、160頁。ISBN 9784065225509。
^ Wardlaw, William P. (2005), “Row Rank Equals Column Rank”, Mathematics Magazine 78 (4), doi:10.1080/0025570X.2005.11953349
^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
^ Mirsky, Leonid (1955). An introduction to linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7