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特定の体上

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:26 UTC 版)

「行列の階数」の記事における「特定の体上」の解説

A が実数体上の行列であるとき、A の階数は対応するグラム行列の階数に等しい。すなわち、実行列 A に対し rank ⁡ ( A ⊤ A ) = rank ⁡ ( A A ⊤ ) = rank ⁡ ( A ) = rank ⁡ ( A ⊤ ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A^{\top }A)=\operatorname {rank} (AA^{\top })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\top })} が成り立つ。これは各々の核空間が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は A⊤Ax = 0 となるベクトル x からなる。このときさらに 0 = x⊤A⊤Ax = |Ax|2 も成り立つ。 A が複素数体上の行列であるとき、A の複素共軛行列を A, 共軛転置行列を A* と書けば、 rank ⁡ ( A ) = rank ⁡ ( A ¯ ) = rank ⁡ ( A T ) = rank ⁡ ( A ∗ ) = rank ⁡ ( A ∗ A ) = rank ⁡ ( A A ∗ ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*})} が成り立つ。

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