特定の値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/20 04:05 UTC 版)
低次の楕円有理関数は次のようになる: R 1 ( ξ , x ) = x {\displaystyle R_{1}(\xi ,x)=x\,} R 2 ( ξ , x ) = ( t + 1 ) x 2 − 1 ( t − 1 ) x 2 + 1 {\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}} ここで t ≡ 1 − 1 ξ 2 {\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}} R 3 ( ξ , x ) = x ( 1 − x p 2 ) ( x 2 − x z 2 ) ( 1 − x z 2 ) ( x 2 − x p 2 ) {\displaystyle R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}} G ≡ 4 ξ 2 + ( 4 ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) ) 2 / 3 {\displaystyle G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}} ここで x p 2 ≡ 2 ξ 2 G 8 ξ 2 ( ξ 2 + 1 ) + 12 G ξ 2 − G 3 − G 3 {\displaystyle x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}} また x z 2 = ξ 2 / x p 2 {\displaystyle x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}} R 4 ( ξ , x ) = R 2 ( R 2 ( ξ , ξ ) , R 2 ( ξ , x ) ) = ( 1 + t ) ( 1 + t ) 2 x 4 − 2 ( 1 + t ) ( 1 + t ) x 2 + 1 ( 1 + t ) ( 1 − t ) 2 x 4 − 2 ( 1 + t ) ( 1 − t ) x 2 + 1 {\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}} R 6 ( ξ , x ) = R 3 ( R 2 ( ξ , ξ ) , R 2 ( ξ , x ) ) {\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))\,} etc. n=5 や n = 2 i 3 j {\displaystyle n=2^{i}\,3^{j}} の形をしたより多くの楕円有理関数についてはLutovac (2001, § 13) を参照のこと。 対応する弁別係数は: L 1 ( ξ ) = ξ {\displaystyle L_{1}(\xi )=\xi \,} L 2 ( ξ ) = 1 + t 1 − t = ( ξ + ξ 2 − 1 ) 2 {\displaystyle L_{2}(\xi )={\frac {1+t}{1-t}}=\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}} L 3 ( ξ ) = ξ 3 ( 1 − x p 2 ξ 2 − x p 2 ) 2 {\displaystyle L_{3}(\xi )=\xi ^{3}\left({\frac {1-x_{p}^{2}}{\xi ^{2}-x_{p}^{2}}}\right)^{2}} L 4 ( ξ ) = ( ξ + ( ξ 2 − 1 ) 1 / 4 ) 4 ( ξ + ξ 2 − 1 ) 2 {\displaystyle L_{4}(\xi )=\left({\sqrt {\xi }}+(\xi ^{2}-1)^{1/4}\right)^{4}\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}} L 6 ( ξ ) = L 3 ( L 2 ( ξ ) ) {\displaystyle L_{6}(\xi )=L_{3}(L_{2}(\xi ))\,} etc. n を次数とすると、零点は全部で n個あり、j を零点の番号とすると対応する零点は x n , j {\displaystyle x_{n,j}} と表せる。 x 1 , 1 = 0 {\displaystyle x_{1,1}=0\,} x 2 , 1 = ξ 1 − t {\displaystyle x_{2,1}=\xi {\sqrt {1-t}}\,} x 2 , 2 = − x 2 , 1 {\displaystyle x_{2,2}=-x_{2,1}\,} x 3 , 1 = x z {\displaystyle x_{3,1}=x_{z}\,} x 3 , 2 = 0 {\displaystyle x_{3,2}=0\,} x 3 , 3 = − x 3 , 1 {\displaystyle x_{3,3}=-x_{3,1}\,} x 4 , 1 = ξ ( 1 − t ) ( 1 + t − t ( t + 1 ) ) {\displaystyle x_{4,1}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t-{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,} x 4 , 2 = ξ ( 1 − t ) ( 1 + t + t ( t + 1 ) ) {\displaystyle x_{4,2}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t+{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,} x 4 , 3 = − x 4 , 2 {\displaystyle x_{4,3}=-x_{4,2}\,} x 4 , 4 = − x 4 , 1 {\displaystyle x_{4,4}=-x_{4,1}\,} 「逆数関係」により、対応する極は x n , i ( p ) = ξ / x n , i {\displaystyle x_{n,i}^{(p)}=\xi /x_{n,i}} と表すことができる。
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