線型代数学の基本定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/01/18 21:21 UTC 版)
数学の分野における線型代数学の基本定理（せんけいだいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of linear algebra）とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A の階数 r や、その特異値分解
に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 
（行列 
は 
個の行と 
個の列を持つ）は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す：
| 部分空間の名前 | 定義 | 含まれる空間 | 次元 | 基底 |
|---|---|---|---|---|
| 列空間、値域あるいは像 |  あるいは  |
 |
 （階数） |
 の初めの 列 |
| 零空間あるいは核 |  あるいは  |
 |
 （退化次数） |
 の最後の  列 |
| 行空間あるいは余像 |  あるいは  |
|
（階数） |
の初めの 列 |
| 左零空間あるいは余核 |  あるいは  |
|
 （余階数） |
の最後の  列 |
続いて、次が成立する：
- において、
である。すなわち零空間は、行空間の直交補空間である。 - において、
である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。
各部分空間の次元は階数・退化次数の定理によって関連付けられており、上表の定理に従う。
また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および双対空間として、
および 
を用いて次のように言い直すことが出来る：
の核および像は、 の余核および余像に、それぞれ等しい。
関連項目
参考文献
- Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.
- Strang, Gilbert (1993), “The fundamental theorem of linear algebra”, American Mathematical Monthly 100 (9): 848–855, doi:10.2307/2324660, JSTOR 2324660
外部リンク
- Gilbert Strang, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video, from MIT OpenCourseWare
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