線型リー環

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線型リー環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/12/10 08:45 UTC 版)

代数学において，線型リー環（せんけいリーかん，英: linear Lie algebra）とは，ベクトル空間 V の自己準同型全体からなるリー環 ${\mathfrak {gl}}(V)$ の部分リー環である．言い換えると，線型リー環はリー環の表現の像である．

任意のリー環は，その忠実表現が必ず存在するという意味で，線型リー環である．（実は，リー環自身が有限次元であるときには，アドの定理によって，有限次元ベクトル空間上の忠実表現をもつ．）

V を標数 0 の体上の有限次元ベクトル空間とし，${\mathfrak {g}}$ を ${\mathfrak {gl}}(V)$ の部分環とする．このとき V が ${\mathfrak {g}}$ 上の加群として半単純であることと，(i) それが中心と半単純イデアルの直和であり，(ii) 中心の元が（ある拡大体上）対角化可能であることと同値である．

参考文献

• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4