分離的な閉体の定義

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分離的な閉体の定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 14:01 UTC 版)

「ラングランズ双対」の記事における「分離的な閉体の定義」の解説

分離的な閉体 K 上の簡約代数群から、簡約代数群のルートデータ（英語版）(root datum) (X*, Δ, X*, Δv) を構成することができ、そこでは、X* は極大トーラスの指標の格子である双対格子 X* （一径数部分群で与えられる）であり、Δ はルート、 Δv はコルートである。K 上の連結簡約代数群は、ルートデータにより（同型を除き）一意に決定される。ルートデータは群の中心を決定するので、ディンキン図形より少し多い情報を持っている。 任意のルートデータ (X*, Δ,X*, Δv) に対し、双対ルートデータ (X*, Δv,X*, Δ) を一径数部分群を持つ指標を取り替え、ルートとコルートを取り替えることにより定義できる。 G が代数的閉体 K 上の連結簡約代数群であれば、ラングランズ双対群 LG は複素連結簡約群で、そのルートデータは G のルートデータの双対である。 例: ラングランズ双対群 LG は G と同じディンキン図形を持つ。ただし、タイプ Bn の成分はタイプ Cn の成分と互いに入れ替える。G が自明な中心を持つと、LG は単純連結で、G が単純連結であれば、LG は自明な中心を持つ。GLn(K) のラングランズ双対群は、GLn(C) である。