球面調和関数

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球面調和関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/07 23:26 UTC 版)

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低次の球面調和関数。赤色は正、緑色は負の領域を示す。

球面調和関数の球表示（左）と原子軌道表示（右）。 （gifアニメーション）

球面調和関数（きゅうめんちょうわかんすう、英: spherical harmonics）あるいは球関数（きゅうかんすう、英: spherical functions）は以下のいずれかを意味する関数である：

1. n 次元ラプラス方程式の解となる斉次多項式を単位球面に制限する事で得られる関数。
2. 次元 n が 3 の場合の 1 の意味での球面調和関数で、球面座標 (r, θ, φ) で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 Y n
   k (θ, φ).

本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。

定義

R を実数全体の集合とし、C を複素数全体の集合とし、n 個の実数からなる組の集合を Rⁿ とし、Rⁿ の元を (x₁, …, x_n) ∈ Rⁿ と書き表すことにする。

Rⁿ 上の複素数値関数

φ: Rⁿ → C

が2階微分可能なとき、Δφ を

$\Delta \phi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}{}^{2}}}\phi$

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外部リンク

• ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『球関数』 - コトバンク
• Spherical harmonic - ブリタニカ百科事典