2-形式の面積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 07:50 UTC 版)
曲面 S 上の微分 2-形式 f = f z d x ∧ d y + f x d y ∧ d z + f y d z ∧ d x {\displaystyle f=f_{z}\,dx\wedge dy+f_{x}\,dy\wedge dz+f_{y}\,dz\wedge dx} が与えられ、(s, t) が領域 D を動くとき x ( s , t ) = ( x ( s , t ) , y ( s , t ) , z ( s , t ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!} が S の向きを保つ媒介表示とすると、f の S 上の面積分は ∬ D [ f z ( x ( s , t ) ) ∂ ( x , y ) ∂ ( s , t ) + f x ( x ( s , t ) ) ∂ ( y , z ) ∂ ( s , t ) + f y ( x ( s , t ) ) ∂ ( z , x ) ∂ ( s , t ) ] d s d t {\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]ds\,dt} で与えられる。ここで、 ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t = ( ∂ ( y , z ) ∂ ( s , t ) , ∂ ( z , x ) ∂ ( s , t ) , ∂ ( x , y ) ∂ ( s , t ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)} は S に直交する面素である。 この 2-形式の面積分は、成分が (fx, fy, fz) であるようなベクトル場の面積分と同じものであることに注意。
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