グリーンの第二恒等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/29 02:16 UTC 版)
「グリーンの恒等式」の記事における「グリーンの第二恒等式」の解説
φ と ψ のいずれもが U ⊂ R3 上で二階連続的微分可能であり、ε が一階連続的微分可能であるなら、F = ψε∇φ − φε∇ψ とすることで次が得られる： ∫ U [ ψ ∇ ⋅ ( ϵ ∇ φ ) − φ ∇ ⋅ ( ϵ ∇ ψ ) ] d V = ∮ ∂ U ϵ ( ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ) d S . {\displaystyle \int _{U}\left[\psi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \varphi \right)-\varphi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\epsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.} U ⊂ R3 上すべてで ε = 1 であるような特別な場合は、次が得られる： ∫ U ( ψ Δ φ − φ Δ ψ ) d V = ∮ ∂ U ( ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ) d S . {\displaystyle \int _{U}\left(\psi \Delta \varphi -\varphi \Delta \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.} 上式において ∂φ/∂n は φ の、面素 dS に対する外向き法線ベクトル n の方向での方向微分である。すなわち ∂ φ ∂ n = ∇ φ ⋅ n = ∇ n φ {\displaystyle {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi } である。このことは特に、境界上で消失する函数に対する L2 内積において、ラプラシアンは自己共役であることを意味する。
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