カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理 （英 : Casorati–Weierstrass theorem ）は、解析関数 の孤立した真性特異点 の近傍の像が稠密であることを主張する定理である。具体的には、
U
δ
:=
{
z
∈
C
:
0
<
|
z
−
z
0
|
<
δ
}
{\displaystyle \mathbb {U} _{\delta }:=\{z\in \mathbb {C} :\;0<|z-z_{0}|<\delta \}}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
正則 であって
(
z
−
z
0
)
n
f
(
z
)
{\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}
n
{\displaystyle n}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
{\displaystyle f}
∀
ε
>
0
,
∀
v
∈
C
,
∃
z
∈
U
δ
,
|
f
(
z
)
−
v
|
<
ε
{\displaystyle \forall {\varepsilon >0},\forall {v\in \mathbb {C} },\exists {z\in \mathbb {U} _{\delta }},\left|f(z)-v\right|<\varepsilon }
であることを主張する。定理の名称はフェリーチェ・カゾラーティ とカール・ワイエルシュトラス にちなむ。
真性特異点を持つ関数の例として
f
(
z
)
=
e
1
/
z
{\displaystyle f(z)=e^{1/z}}
を挙げる。任意の
v
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle v\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}
z
=
1
log
v
+
2
π
i
n
,
n
≥
1
2
π
δ
+
1
{\displaystyle z={\frac {1}{\log v+2{\pi }in}},\quad {n\geq {\frac {1}{2\pi \delta }}+1}}
とすれば、
|
z
|
<
δ
{\displaystyle \left|z\right|<\delta }
f
(
z
)
=
v
{\displaystyle f(z)=v}
ピカールの定理 は、「それに限りなく近い値」しか取らないという値が高々唯一の例外であることを主張する。
背理法 を用いる。
∃
ϵ
>
0
,
∃
v
∈
C
,
∀
z
∈
U
δ
,
|
f
(
z
)
−
v
|
≥
ϵ
{\displaystyle \exists {\epsilon >0},\exists {v\in \mathbb {C} },\forall {z\in \mathbb {U} _{\delta }},\left|f(z)-v\right|\geq \epsilon }
であると仮定し、
F
(
z
)
=
1
f
(
z
)
−
v
{\displaystyle F(z)={\frac {1}{f(z)-v}}}
と置けば、
|
F
(
z
)
|
=
1
|
f
(
z
)
−
v
|
≤
1
ϵ
(
z
∈
U
δ
)
{\displaystyle \left|F(z)\right|={\frac {1}{\left|f(z)-v\right|}}\leq {\frac {1}{\epsilon }}\qquad \left(z\in \mathbb {U} _{\delta }\right)}
となるので、
F
{\displaystyle F}
U
δ
{\displaystyle \mathbb {U} _{\delta }}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
{\displaystyle f}
z
→
z
0
{\displaystyle z\to z_{0}}
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)}
z
→
z
0
{\displaystyle z\to z_{0}}
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
v
{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)=v}
∀
ϵ
>
0
,
∃
z
∈
U
δ
,
|
f
(
z
)
−
v
|
<
ϵ
{\displaystyle \forall {\epsilon >0},\exists {z\in \mathbb {U} _{\delta }},\left|f(z)-v\right|<\epsilon }
lim
z
→
z
0
|
F
(
z
)
|
{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}\left|F(z)\right|}
lim
z
→
z
0
(
z
−
z
0
)
F
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})F(z)=0}
は成立し、リーマンの定理 により
z
0
{\displaystyle z_{0}}
F
{\displaystyle F}
∀
z
∈
U
δ
,
F
(
z
)
=
G
(
z
)
{\displaystyle \forall {z\in \mathbb {U} _{\delta }},F(z)=G(z)}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
(
z
)
=
1
G
(
z
)
+
v
(
z
∈
U
δ
)
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{G(z)}}+v\qquad \left(z\in \mathbb {U} _{\delta }\right)}
となるが、これは
f
{\displaystyle f}
U
δ
{\displaystyle \mathbb {U} _{\delta }}
有理型 となることを意味する。すなわち、
∀
z
∈
U
δ
{\displaystyle \forall {z\in \mathbb {U} _{\delta }}}
(
z
−
z
0
)
n
f
(
z
)
{\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}
n が存在することになり、定理の仮定に反する。
John J O'Connor and Edmund F Robertson, "The MacTutor History of Mathematics archive: Felice Casorati"
