初等関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/02 21:27 UTC 版)
初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、以下の一変数関数、及びこれらの関数を有限回合成して得られる合成関数の総称である[1][2]。
初等関数のうち、代数関数でないものを初等超越関数という[3][4]。
指数関数によって定義される双曲線関数・逆双曲線関数は初等関数である[3]。
初等関数ではない関数
ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない[3][4]。
初等関数になるとは限らない関数の例
初等関数の不定積分や初等関数を用いた微分方程式の解などは一般には初等関数にはならない[4]。
初等関数の逆関数は必ずしも初等関数になるとは限らない（例えばランベルトのW関数）。
初等関数の例
脚注
参考文献
- 加藤周一 ほか『世界大百科事典』（改訂新版）平凡社、2007年。ISBN 978-4-582-03400-4。
- 竹之内脩 ほか『スーパーニッポニカ プロフェッショナル』（DVD-ROM版）小学館、2005年。ISBN 978-4-09-906745-8。
- 一松信：「初等関数概説 いろいろな関数」、森北出版、 ISBN 978-4627017511 (1998年10月).
- 一松信：「初等関数の数値計算」、教育出版 、ISBN 978-4316375915 (1974年）。
- Jean-Michel Muller:Elementary Functions: Algorithms and Implementation (3rd Ed.), Birkhäuser, ISBN 978-1-4899-7983-4 (2016).
関連項目
外部リンク
- 竹之内脩『初等関数』 - コトバンク
- Weisstein, Eric W. "Elementary function". mathworld.wolfram.com (英語).
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初等関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:06 UTC 版)
∀ A ∈ C n × n , f : C → C {\displaystyle \forall A\in \mathbb {C} ^{n\times n},\quad f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } が与えられたとする。このとき f ( z ) {\displaystyle f(z)} がどのような関数であれば f ( A ) {\displaystyle f(A)} に行列としての意味を持たせられるかを考える。自然に思いつくのは多項式の場合： f ( z ) = c 0 + c 1 z + ⋯ + c m z m {\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}z+\cdots +c_{m}z^{m}} このときは当然ながら、 f ( A ) = c 0 I + c 1 A + ⋯ + c m A m {\displaystyle f(A)=c_{0}I+c_{1}A+\cdots +c_{m}A^{m}} と定義するのが合理的である。この考えを発展させることで f ( z ) := ∑ k = 0 ∞ c k z k {\displaystyle f(z):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}} と定義されているときには f ( A ) := ∑ k = 0 ∞ c k A k {\displaystyle f(A):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}A^{k}} と定義すればよいということが言える (もちろん行列からなる無限列の収束を適切に定義することも必要不可欠である)。例えば行列指数関数などの初等関数は次のように定められる: exp A := ∑ k = 0 ∞ 1 k ! A k , {\displaystyle \exp A:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k},} sin A := ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! A 2 k + 1 , cos A := ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! A 2 k . {\displaystyle \sin A:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}A^{2k+1},\quad \cos A:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}A^{2k}.} もしも f ( z ) {\displaystyle f(z)} がベキ級数表示を持たない場合はLagrange-Sylvester 多項式という道具を使って f ( A ) {\displaystyle f(A)} を定めることができる。
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