フォン・ミーゼス分布 （フォン・ミーゼスぶんぷ; 英 : von Mises distribution ）は、円周上に定義された連続型 の確率分布 である。方向統計学 における代表的な分布モデルであり、確率変数を角度の関数として表す分布モデルなどに使われる。名前はリヒャルト・フォン・ミーゼス に因む。
定義と性質 フォン・ミーゼス分布の
確率密度関数 を単位円上にプロットした図
μ (0 ≤ μ < 2π ), β (β ≥ 0)θ (0 ≤ θ < 2π )累積分布関数 F (θ )確率密度関数 f (θ )
F
(
θ
)
=
{
2
π
I
0
(
β
)
}
−
1
[
θ
I
0
(
β
)
+
2
{
∑
j
=
0
∞
I
j
(
β
)
sin
(
j
(
θ
−
μ
)
)
j
}
]
{\displaystyle F(\theta )=\left\{2\pi I_{0}(\beta )\right\}^{-1}\left[\theta I_{0}(\beta )+2\left\{\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {I_{j}(\beta )\sin(j(\theta -\mu ))}{j}}\right\}\right]}
f
(
θ
)
=
exp
{
β
cos
(
θ
−
μ
)
}
2
π
I
0
(
β
)
{\displaystyle f(\theta )={\frac {\exp\{\beta \cos(\theta -\mu )\}}{2\pi I_{0}(\beta )}}}
ここで
I
j
(
β
)
=
(
β
2
)
j
∑
i
=
0
∞
(
β
2
4
)
i
i
!
Γ
(
j
+
i
+
1
)
{\displaystyle I_{j}(\beta )=\left({\frac {\beta }{2}}\right)^{j}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {\beta ^{2}}{4}}\right)^{i}}{i!\Gamma (j+i+1)}}}
は j 次の第一種変形ベッセル関数 である。パラメータ β が大きいとき正規分布に近似でき、β = 0
定義域が有限 (0 ≤ θ < 2π θ に関して周期関数であることから、正規分布 とは異なるが、方向統計学における代表的な分布であること、二変量正規分布を変換することでフォン・ミーゼス分布を得られること、最尤推定により平均方向が得られることなど、正規分布と類似性もあることから、円周正規分布 (circular normal distribution ) と呼ばれることもある。しかし、再生性 を持たない等、正規分布と異なる性質もある。
参考文献 清水邦夫、「方向統計学の最近の発展」、計算機統計学、第19巻、第2号、pp. 127-150 (2006).
蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003). 関連項目 外部リンク 離散単変量で 離散単変量で 連続単変量で 連続単変量で 連続単変量で 連続単変量で 混連続-離散単変量 多変量 (結合) 方向 退化 と特異 族 サンプリング法（英語版 ）
![{\displaystyle F(\theta )=\left\{2\pi I_{0}(\beta )\right\}^{-1}\left[\theta I_{0}(\beta )+2\left\{\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {I_{j}(\beta )\sin(j(\theta -\mu ))}{j}}\right\}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2829c1b53901fbc047d345b22b77e45ddebcdd6)
