この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 （2016年10月 ）
確率分布 の族における再生性 （さいせいせい、英 : reproductive property ）とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。
定義 分布族
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
任意の確率分布
F
1
,
F
2
∈
F
{\displaystyle F_{1},F_{2}\in \mathbb {F} }
F i X i
i
=
1
,
2
{\displaystyle i=1,2}
X
i
∼
F
i
{\displaystyle X_{i}\sim F_{i}}
このとき、
X
1
+
X
2
{\displaystyle X_{1}+X_{2}}
F が
F
∈
F
{\displaystyle F\in \mathbb {F} }
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
再生性を持つ という。
ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が畳み込み 演算について閉じていることを意味する。
再生性を持つ分布族 以下で用いられる2つの確率変数 X 1 , X 2
正規分布
X
i
∼
N
(
μ
i
,
σ
i
2
)
(
i
=
1
,
2
)
⟶
X
1
+
X
2
∼
N
(
μ
1
+
μ
2
,
σ
1
2
+
σ
2
2
)
{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{N}}(\mu _{i},\ \sigma _{i}^{2})\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\ \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}
コーシー分布 コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。 ガンマ分布
X
i
∼
Gamma
(
k
i
,
θ
)
(
i
=
1
,
2
)
⟶
X
1
+
X
2
∼
Gamma
(
k
1
+
k
2
,
θ
)
{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Gamma}}(k_{i},\theta )\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{Gamma}}(k_{1}+k_{2},\ \theta )}
尺度母数 θ が異なる場合は当てはまらない。
特に k 1 , k 2 アーラン分布 を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、k 1 , k 2 カイ二乗分布 に相当し、同様に再生性を持つ。 二項分布
X
i
∼
B
(
n
i
,
p
)
(
i
=
1
,
2
)
⟶
X
1
+
X
2
∼
B
(
n
1
+
n
2
,
p
)
{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{B}}(n_{i},p)\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{B}}(n_{1}+n_{2},\ p)}
確率 p が異なる場合は当てはまらない。 負の二項分布
X
i
∼
NB
(
α
i
,
p
)
(
i
=
1
,
2
)
⟶
X
1
+
X
2
∼
NB
(
α
1
+
α
2
,
p
)
{\displaystyle X_{i}\thicksim {\mbox{NB}}(\alpha _{i},p)(i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\thicksim {\mbox{NB}}(\alpha _{1}+\alpha _{2},p)}
確率 p が異なる場合は当てはまらない。 ポアソン分布
X
i
∼
Po
(
λ
i
)
(
i
=
1
,
2
)
⟶
X
1
+
X
2
∼
Po
(
λ
1
+
λ
2
)
{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Po}}(\lambda _{i})\ (i=1,2)\ \longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{Po}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}
カイ二乗分布
X
1
∼
χ
n
2
,
X
2
∼
χ
m
2
(
n
,
m
∈
N
)
⟶
X
1
+
X
2
∼
χ
n
+
m
2
{\displaystyle X_{1}\sim \chi _{n}^{2},X_{2}\sim \chi _{m}^{2}\ (n,m\in \mathbb {N} )\ \longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim \chi _{n+m}^{2}}
関連項目 
