再生性を持つ分布族
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/09 02:18 UTC 版)
以下で用いられる2つの確率変数 X1, X2 は互いに独立であると仮定する。 正規分布 X i ∼ N ( μ i , σ i 2 ) ( i = 1 , 2 ) ⟶ X 1 + X 2 ∼ N ( μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) {\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{N}}(\mu _{i},\ \sigma _{i}^{2})\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\ \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})} コーシー分布 コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。 ガンマ分布 X i ∼ Gamma ( k i , θ ) ( i = 1 , 2 ) ⟶ X 1 + X 2 ∼ Gamma ( k 1 + k 2 , θ ) {\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Gamma}}(k_{i},\theta )\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{Gamma}}(k_{1}+k_{2},\ \theta )} 尺度母数 θ が異なる場合は当てはまらない。 特に k1, k2 が整数である場合はアーラン分布を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、k1, k2 が半整数である場合はカイ二乗分布に相当し、同様に再生性を持つ。 二項分布 X i ∼ B ( n i , p ) ( i = 1 , 2 ) ⟶ X 1 + X 2 ∼ B ( n 1 + n 2 , p ) {\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{B}}(n_{i},p)\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{B}}(n_{1}+n_{2},\ p)} 確率 p が異なる場合は当てはまらない。 負の二項分布 X i ∼ NB ( α i , p ) ( i = 1 , 2 ) ⟶ X 1 + X 2 ∼ NB ( α 1 + α 2 , p ) {\displaystyle X_{i}\thicksim {\mbox{NB}}(\alpha _{i},p)(i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\thicksim {\mbox{NB}}(\alpha _{1}+\alpha _{2},p)} 確率 p が異なる場合は当てはまらない。 ポアソン分布 X i ∼ Po ( λ i ) ( i = 1 , 2 ) ⟶ X 1 + X 2 ∼ Po ( λ 1 + λ 2 ) {\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Po}}(\lambda _{i})\ (i=1,2)\ \longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{Po}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})} カイ二乗分布 X 1 ∼ χ n 2 , X 2 ∼ χ m 2 ( n , m ∈ N ) ⟶ X 1 + X 2 ∼ χ n + m 2 {\displaystyle X_{1}\sim \chi _{n}^{2},X_{2}\sim \chi _{m}^{2}\ (n,m\in \mathbb {N} )\ \longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim \chi _{n+m}^{2}}
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