確率変数の和の確率分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/01 18:42 UTC 版)
2つの確率変数 X と Y の和 X + Y の確率分布や差 X − Y の確率分布は変数変換公式により計算できる。特に X と Y が独立で、確率密度関数がそれぞれ fX と fY だったとすると、和と差の確率密度関数は f X + Y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( t − y ) f Y ( y ) d y {\displaystyle f_{X+Y}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(t-y)f_{Y}(y)\,dy} f X − Y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( t + y ) f Y ( y ) d y {\displaystyle f_{X-Y}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(t+y)f_{Y}(y)\,dy} となる。 特に和の確率密度関数は2つの分布の確率密度関数の畳み込みである。また、特性関数は確率密度関数のフーリエ変換であり、畳み込みのフーリエ変換は周波数領域における積であることから、和の特性関数は2つの分布の特性関数の積となる。 なお、確率変数の和の確率分布が元の分布族に従う場合、その分布は再生性があるという。
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