確率変数の条件付き独立
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/18 10:08 UTC 版)
「条件付き独立」の記事における「確率変数の条件付き独立」の解説
確率変数 Z {\displaystyle Z} の下で2つの確率変数 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が条件付き独立であるとは、確率変数 Z {\displaystyle Z} の下での X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} の条件付き確率分布が独立である、ということと同値である。つまり、 Z {\displaystyle Z} の値が与えられたとき、 Y {\displaystyle Y} の値によって X {\displaystyle X} の確率分布は変わらないし、 X {\displaystyle X} の値によって Y {\displaystyle Y} の確率分布は変わらない。 X ⊥ ⊥ Y ∣ Z ⟺ F X , Y ∣ Z = z ( x , y ) = F X ∣ Z = z ( x ) F Y ∣ Z = z ( y ) f o r a l l x , y , z {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad \iff \quad F_{X,\,Y\mid Z=z}(x,\,y)=F_{X\mid Z=z}(x)\,F_{Y\mid Z=z}(y)\quad \mathrm {for\ all} \;x,\,y,\,z} ここで F X , Y ∣ Z = z ( x , y ) = Pr ( X ≤ x , Y ≤ y ∣ Z = z ) {\displaystyle F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=\Pr(X\leq x,Y\leq y\mid Z=z)} は Z {\displaystyle Z} を条件とした X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} の累積分布関数である。 σ代数 Σ {\displaystyle \Sigma } の下で事象 R {\displaystyle R} と事象 B {\displaystyle B} が条件付き独立とは Pr ( R , B ∣ Σ ) = Pr ( R ∣ Σ ) Pr ( B ∣ Σ ) {\displaystyle \Pr(R,B\mid \Sigma )=\Pr(R\mid \Sigma )\Pr(B\mid \Sigma )} ここで Pr ( A ∣ Σ ) {\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma )} は、σ代数 Σ {\displaystyle \Sigma } の下での事象 A {\displaystyle A} の指示関数 χ A {\displaystyle \chi _{A}} の条件付き期待値を示す。 Pr ( A ∣ Σ ) := E [ χ A ∣ Σ ] {\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma ):=\operatorname {E} [\chi _{A}\mid \Sigma ]} σ ( X ) {\displaystyle \sigma (X)} の全ての R {\displaystyle R} と σ ( Y ) {\displaystyle \sigma (Y)} の全ての B {\displaystyle B} に対して上の式が成立するとき、σ代数 Σ {\displaystyle \Sigma } の下で 2つの確率変数 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} は条件付き独立である。 確率変数 W {\displaystyle W} の下で 2つの確率変数 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が条件付き独立であるのは、 W {\displaystyle W} による σ代数 σ ( W ) {\displaystyle \sigma (W)} の下で X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が独立している場合であり、次のように表現する。 X ⊥ ⊥ Y ∣ W {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid W} W {\displaystyle W} が可算集合のとき、 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が以下の形式の事象に対して条件付き独立であることと等価である。 W = w {\displaystyle W=w} 3つ以上の事象や3つ以上の確率変数の条件付き独立性も同様に定義される。
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