確率変数ベクトルの条件付き独立性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/18 10:08 UTC 版)
「条件付き独立」の記事における「確率変数ベクトルの条件付き独立性」の解説
確率変数ベクトル 独立 Z = ( Z 1 , … , Z n ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\dots ,Z_{n})^{\top }} の下で2つの確率変数ベクトル X = ( X 1 , … , X l ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{l})^{\top }} と Y = ( Y 1 , … , Y m ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\dots ,Y_{m})^{\top }} が条件付き独立であるとは、 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } の下で条件付き累積分布が独立であることと同値である。 X ⊥ ⊥ Y ∣ Z ⟺ F X , Y | Z = z ( x , y ) = F X ∣ Z = z ( x ) F Y ∣ Z = z ( y ) f o r a l l x , y , z {\displaystyle \mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} \mid \mathbf {Z} \quad \iff \quad F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} |\mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=F_{\mathbf {X} \mid \mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} )\,F_{\mathbf {Y} \mid \mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {y} )\quad \mathrm {for\ all} \;\mathbf {x} ,\,\mathbf {y} ,\,\mathbf {z} } ここで、 x = ( x 1 , … , x l ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{l})^{\top }} 、 y = ( y 1 , … , y m ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{m})^{\top }} 、 z = ( z 1 , … , z n ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},\dots ,z_{n})^{\top }} であり、条件付き累積分布は次のように定義される。 F X , Y ∣ Z = z ( x , y ) = Pr ( X 1 ≤ x 1 , … , X l ≤ x l , Y 1 ≤ y 1 , … , Y m ≤ y m ∣ Z 1 = z 1 , … , Z n = z n ) F X ∣ Z = z ( x ) = Pr ( X 1 ≤ x 1 , … , X l ≤ x l ∣ Z 1 = z 1 , … , Z n = z n ) F Y ∣ Z = z ( y ) = Pr ( Y 1 ≤ y 1 , … , Y m ≤ y m ∣ Z 1 = z 1 , … , Z n = z n ) {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \mid \mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{l}\leq x_{l},\;Y_{1}\leq y_{1},\dots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\dots ,Z_{n}=z_{n})\\F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{l}\leq x_{l}\mid Z_{1}=z_{1},\dots ,Z_{n}=z_{n})\\F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )&=\Pr(Y_{1}\leq y_{1},\dots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\dots ,Z_{n}=z_{n})\end{aligned}}}
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