確率密度関数の変数変換公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/01 18:42 UTC 版)
「確率分布」の記事における「確率密度関数の変数変換公式」の解説
R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} から R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} への変換 T により、 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 値確率変数 X と Y が X = T ( Y ) {\displaystyle X=T(Y)} と書けているとすると、Y の確率密度関数は X の確率密度関数を用いて f Y ( y 1 , ⋯ , y d ) = | ( det J T ) ( y 1 , ⋯ , y d ) | f X ( T ( y 1 , ⋯ , y d ) ) {\displaystyle f_{Y}(y_{1},\cdots ,y_{d})=|(\det J_{T})(y_{1},\cdots ,y_{d})|f_{X}(T(y_{1},\cdots ,y_{d}))} となる。ただし J はヤコビアンとする。 例えばボックス-ミューラー変換は (0, 1]2 上の一様分布に従う確率変数 X = (X1, X2) を Y 1 = − 2 ln X 1 sin ( 2 π X 2 ) {\displaystyle Y_{1}={\sqrt {-2\ln X_{1}}}\sin(2\pi X_{2})} Y 2 = − 2 ln X 1 cos ( 2 π X 2 ) {\displaystyle Y_{2}={\sqrt {-2\ln X_{1}}}\cos(2\pi X_{2})} によって変換する。X の密度関数は f X ( x 1 , x 2 ) = { 1 , ( x 1 , x 2 ) ∈ ( 0 , 1 ] 2 0 , ( x 1 , x 2 ) ∉ ( 0 , 1 ] 2 {\displaystyle f_{X}(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1,&(x_{1},x_{2})\in (0,1]^{2}\\0,&(x_{1},x_{2})\notin (0,1]^{2}\end{cases}}} であり、上の公式を当てはめると Y の確率密度関数は f Y ( y 1 , y 2 ) = 1 2 π exp ( − y 1 2 + y 2 2 2 ) {\displaystyle f_{Y}(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {{y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}}{2}}\right)} となり、Y が二次元の標準正規分布に従うことが分かる。このように単純な分布を持つ変数を変換して、複雑な分布を作る操作は計算機による乱数の生成で重要となる。
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