確率変数のオルリッチノルム
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/26 09:38 UTC 版)
「バーンバウム＝オルリッチ空間」の記事における「確率変数のオルリッチノルム」の解説
同様に、確率変数のオルリッチノルムは空間を次のように特徴づける： ‖ X ‖ Ψ ≜ inf { k ∈ ( 0 , ∞ ) ∣ E [ Ψ ( | X | / k ) ] ≤ 1 } . {\displaystyle \|X\|_{\Psi }\triangleq \inf \left\{k\in (0,\infty )\mid E[\Psi (|X|/k)]\leq 1\right\}.} このノルムは同次であり、この集合が空でない場合のみ定義される。 Ψ ( x ) = x p {\displaystyle \Psi (x)=x^{p}} のとき、このノルムは確率変数の p 次モーメントと一致する。指数函数の族におけるその他の特別な場合は、函数 Ψ q ( x ) = exp ( x q ) − 1 {\displaystyle \Psi _{q}(x)=\exp(x^{q})-1} （ q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} ）に対して考えられる。 Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} ノルムが有限であるような確率変数は劣ガウス（英語版）と呼ばれ、 Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} ノルムが有限であるような確率変数は劣指数的（sub-exponential）と呼ばれる。実際、 Ψ p {\displaystyle \Psi _{p}} ノルムの有界性は次の確率密度函数の極限における挙動を特徴づける： ‖ X ‖ Ψ p = c → lim x → ∞ f X ( x ) exp ( | x / c | p ) = 0. {\displaystyle \|X\|_{\Psi _{p}}=c\rightarrow \lim _{x\rightarrow \infty }f_{X}(x)\exp(|x/c|^{p})=0.} したがってこの確率密度函数の末尾は漸近的に似たものであり、 exp ( − | x / c | p ) {\displaystyle \exp(-|x/c|^{p})} によって上に有界となる。 Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} ノルムは狭義単調積率母函数によって容易に計算できる。例えば、自由度 K のカイ自乗確率変数 X の積率母函数は M X ( t ) = ( 1 − 2 t ) − K / 2 {\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-K/2}} であり、したがって Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} ノルムの逆は積率母函数の函数的逆と関連する。すなわち ‖ X ‖ Ψ 1 − 1 = M X − 1 ( 2 ) = ( 1 − 4 − 1 / K ) / 2 {\displaystyle \|X\|_{\Psi _{1}}^{-1}=M_{X}^{-1}(2)=(1-4^{-1/K})/2} が成立する。
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