確率行列とは? わかりやすく解説

確率行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/01/14 18:12 UTC 版)

数学における確率行列(かくりつぎょうれつ、: stochastic matrix)とは、マルコフ連鎖の遷移確率を表す正方行列である。全ての成分が、確率を表す非負実数となっている[1][2]:9-11。文脈によって遷移行列(英: transition matrix)、置換行列(英: substitution matrix)、マルコフ行列(英: Markov matrix)と呼ばれることもある。また 英: probabilistic matrix と呼ばれることもある[2]:9-11

確率行列は20世紀初頭にアンドレイ・マルコフによって初めて導入され、確率論統計学数理ファイナンス線形代数学計算機科学集団遺伝学といった様々な分野で活用されてきた[2]:1-8

確率行列には、いくつかの異なる定義・形式がある[2]:9-11

右確率行列(英: right stochastic matrix)とは、任意の行の和が1となる非負実数成分の正方行列である。
左確率行列(英: left stochastic matrix)とは、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。
二重確率行列(英: doubly stochastic matrix)とは、任意の行、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。

同様にして、確率ベクトル英語版(英: stochastic vector, probability vector) を、全ての成分が非負の実数で和が1となるベクトルと定義できる。右確率行列の全ての行(左確率行列の全ての列)は確率ベクトルである[2]:9-11

数学の文献での慣習に従い、本項では行ベクトルが確率ベクトルとなる右確率行列について述べる[2]:1-8

歴史

アンドレイ・マルコフ(1886年)

確率行列は、ロシア人数学者サンクトペテルブルク大学教授であったアンドレイ・マルコフによってマルコフ連鎖とともに考案された。出版物への初めての記載は1906年である[2]:1-8 [3]。マルコフは当初、これらを言語分析やカードシャッフル等の数学的題材に用いるつもりだったが、たちまち他の分野でも有用であることが分かってきた[2]:1-8 [3][4]

確率行列はアンドレイ・コルモゴロフ等の学者によってさらなる研究がなされ、連続時間マルコフ過程にも適用できるよう拡張が行われた[5]。1950年代までに、計量経済学[6]回路網解析[7]といった分野にも確率行列を用いた論文が現れた。1960年代には行動科学[8]から地質学[9][10]居住地計画[11]まで、さらに広範な科学領域で確率行列が用いられるようになった。同時に、この期間には確率行列やマルコフ過程の応用範囲や有用性を押し広げるような数学的研究もより一般的に行われた。

1970年代から現在にかけて、確率行列は建築構造設計[12]から医療診断[13]人事労務管理[14]まで、形式的な分析を必要とするほとんどあらゆる分野で用いられるようになってきた。土地利用変化モデリング英語版(land change modeling、この分野では「マルコフ行列」と呼ばれることが多い)においても広範に応用されている[15]

定義と性質

確率行列は、要素が有限個の状態空間 S濃度

ネズミの生存確率関数。少なくとも最初の1ステップでは生き残っている。

状態 5 は吸収状態であり、吸収までの時間は離散的相型分布英語版に従う。系が状態 2 から始まったとする(ベクトルで表すと


確率行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/17 06:59 UTC 版)

ペロン=フロベニウスの定理」の記事における「確率行列」の解説

行(あるいは、列)確率行列とは、各行(あるいは、列)の成分非負実数で、その行(あるいは、列)毎の和が 1 となるようなもののことを言う。このような行列は必ずしも既約はないため、ペロン=フロベニウスの定理直接的に適用することは出来ない。 A を行確行列とすると、各成分が 1 であるよう列ベクトルは、その行列の固有値 1 に対応する固有ベクトルであることが分かる。ここで固有値 1 は、上述議論により ρ(A) である。しかし、それは単位円上の唯一つの固有値では無いこともあり、対応する固有空間多次元となることもあり得る。A が既約な行確率行列であるなら、ペロン射影同様に行確率的で、そのすべての行は等しい。

※この「確率行列」の解説は、「ペロン=フロベニウスの定理」の解説の一部です。
「確率行列」を含む「ペロン=フロベニウスの定理」の記事については、「ペロン=フロベニウスの定理」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「確率行列」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ


英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「確率行列」の関連用語

確率行列のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



確率行列のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの確率行列 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaのペロン=フロベニウスの定理 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS