確率計算に対する批判
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 16:20 UTC 版)
「弘前大教授夫人殺し事件」の記事における「確率計算に対する批判」の解説
古畑が確率論を用いた鑑定を行ったことに対しては、数学者からも後に多くの批判がなされている。上のように、古畑鑑定書には極めて不完全な形でしか数式が現れず、これを一般的なベイズの定理に復元するためには、まず次のような手順を踏まねばならない。 血痕がBMQE型である確率を P ( A ) {\displaystyle P(A)} 、血痕がSのものである確率を P ( B 1 ) {\displaystyle P(B_{1})} 、血痕がSのものでない確率を P ( B 2 ) {\displaystyle P(B_{2})} と設定すると、鑑定書にある「両者の血痕が同一人の血液に由来するものである確率」 W 1 {\displaystyle W_{1}} とは「血痕がBMQE型である」という事象が起きた上で「血痕がSのものである」という事象が起きる事後確率 P ( B 1 | A ) {\displaystyle P(B_{1}|A)} を指していることになる（ W 2 {\displaystyle W_{2}} は単純に1からこれを引くことで得られる）。一方で「同一人物であった時の一致率」 X {\displaystyle X} は「血痕がSのものである」という事象が起きた上で「血痕がBMQE型である」という事象が起きる事後確率 P ( A | B 1 ) {\displaystyle P(A|B_{1})} を指しており、こちらは当然 X = P ( A | B 1 ) = 1 {\displaystyle X=P(A|B_{1})=1} である。「一般人の間に出現する頻度」 Y {\displaystyle Y} は「血痕がBMQE型である」上で「血痕がSのものでない」場合の確率であるので Y = P ( A | B 2 ) {\displaystyle Y=P(A|B_{2})} と表すことができる。また、「血痕がSのものである」という事象 B 1 {\displaystyle B_{1}} と「血痕がSのものでない」という事象 B 2 {\displaystyle B_{2}} は完全系をなしているため、任意の事象 C {\displaystyle C} に対して P ( C ) = P ( C ∩ B 1 ) + P ( C ∩ B 2 ) {\displaystyle P(C)=P(C\cap B_{1})+P(C\cap B_{2})} が成り立つ。さらに任意の事象 D {\displaystyle D} に対しても P ( D | C ) = P ( C ∩ D ) P ( C ) {\displaystyle P(D|C)={\frac {P(C\cap D)}{P(C)}}} が成り立つため、確率 P ( A ) {\displaystyle P(A)} 、 P ( B 1 ) {\displaystyle P(B_{1})} 、 P ( B 2 ) {\displaystyle P(B_{2})} に対しても P ( B 1 | A ) = P ( B 1 ) P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) P ( A | B 1 ) + P ( B 2 ) P ( A | B 2 ) {\displaystyle P(B_{1}|A)={\frac {P(B_{1})P(A|B_{1})}{P(B_{1})P(A|B_{1})+P(B_{2})P(A|B_{2})}}} が成立する。この復元手順については多くの数学者の間で一致がみられる。ところが、上の式は W 1 = P ( B 1 | A ) = P ( B 1 ) P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) P ( A | B 1 ) + P ( B 2 ) P ( A | B 2 ) = P ( B 1 ) X P ( B 1 ) X + P ( B 2 ) Y = X X + Y {\displaystyle W_{1}=P(B_{1}|A)={\frac {P(B_{1})P(A|B_{1})}{P(B_{1})P(A|B_{1})+P(B_{2})P(A|B_{2})}}={\frac {P(B_{1})X}{P(B_{1})X+P(B_{2})Y}}={\frac {X}{X+Y}}} を表しているのであり、この等式は P ( B 1 ) = P ( B 2 ) = 1 2 {\displaystyle P(B_{1})=P(B_{2})={\frac {1}{2}}} すなわち、血痕がSのものである確率とSのものでない確率は五分五分である、という仮定を置かなければ成立しない。つまり古畑鑑定では初めから那須が犯人である蓋然性が50パーセントと設定されていることになる。のみならず古畑は P ( A | B 2 ) {\displaystyle P(A|B_{2})} に日本人におけるBMQE型血液の持ち主の割合を代入しているが、これは日本人全員が那須のシャツに血痕を付ける機会を持っていた、と述べているに等しい仮定である。さらに、古畑がなした2つの仮定を連立させると P ( A ) = P ( A ∩ B 1 ) + P ( A | B 2 ) P ( B 2 ) = P ( B 1 ) + 0.015 2 = 0.5075 {\displaystyle P(A)=P(A\cap B_{1})+P(A|B_{2})P(B_{2})=P(B_{1})+{\frac {0.015}{2}}=0.5075} が得られるので、 W 1 {\displaystyle W_{1}} の値はベイズの定理とは無関係に W 1 = P ( B 1 | A ) = P ( A ∩ B 1 ) P ( A ) = P ( B 1 ) P ( A ) = 0.5 0.5075 ≒ 0.985 {\displaystyle W_{1}=P(B_{1}|A)={\frac {P(A\cap B_{1})}{P(A)}}={\frac {P(B_{1})}{P(A)}}={\frac {0.5}{0.5075}}\fallingdotseq 0.985} と算出できてしまう。すなわち、古畑が鑑定書で用いているのは事実上の循環論法である。
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