確率要素

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確率要素

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/21 02:32 UTC 版)

数学の確率論における確率要素（かくりつようそ、英: random element）とは、確率変数の概念の一般化であって、その終域が単純な実数直線からより複雑な空間へ拡張されたものである。この概念は、「確率論の発展とその応用分野の拡張は、試行の（ランダムな）結果が数や数の有限集合によって表現される体系から、試行の結果が例えばベクトル、関数、過程、体、級数、変換や集合あるいは集合族によって表現される体系へ移行する必要性につながる」という意見を残したモーリス・ルネ・フレシェ^[1]によって導入された。

昨今の慣例では〈確率要素〉を扱う際の終域は位相線型空間であることが多いが、しばしば部分集合の特別な σ-代数を備えるバナッハ空間やヒルベルト空間であることもある。

定義

(Ω, ℱ, P) を確率空間とし、(E, ℰ) を可測空間とする。E に値を取る確率要素とは、(ℱ, ℰ)-可測であるような関数 X: Ω→E のことを言う^[2]。すなわち、任意の B ∈ ℰ に対して B の逆像が ℱ に含まれるような関数 X （つまり、{ ω : X(ω) ∈ B } ∈ ℱ が成り立つような関数 X）のことを、確率要素と言う。

E に値を取る確率要素はしばしば、E-値確率変数と呼ばれる。

${\displaystyle \mathbb {R} }$ を実数空間、${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ をそのボレルσ-代数、${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ としたとき、確率要素の定義は古典的な確率変数の定義と一致する。

バナッハ空間 ${\displaystyle B}$ に値を取る確率要素 ${\displaystyle X}$ の定義は、一般的に、すべての有界線形汎関数が可測であるような B 上の最小の σ-代数を役立てるものと理解される。この場合の同値な定義として、すべての有界線形汎関数 f に対して ${\displaystyle f\circ X}$ が確率変数であるならば、確率空間上の写像 ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow B}$ は確率要素である、というものがある。それはまた、${\displaystyle X}$ が弱可測関数であることとも同値である。

様々な場面における確率要素

• 確率変数
  • 離散確率分布
  • 複素確率変数
  • 単純確率変数
  • 確率ベクトル（英語版）
  • ランダム行列
• 確率分布
  • 確率質量関数
  • 確率密度関数
• 確率過程
• 確率場（英語版）
• 確率測度
• 確率集合
• 確率閉集合
• 確率コンパクト集合

脚注

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1. ^ Fréchet 1948.
2. ^ Kellenberg 1997, p. 24.

参考文献

• Fréchet, M. (1948). “Les éléments aléatoires de nature quelconque dans un espace distancié”. Annales de l'Institut Henri Poincaré 10 (4): 215–310. http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1948__10_4_215_0. 
• Hoffman-Jorgensen J., Pisier G. (1976) "Ann.Probab.", v.4, 587-589.
• Kellenberg, O. (1997). Foundations of Modern Probability. Springer. ISBN 0-387-94957-7. https://books.google.com/books?id=uL7UBwAAQBAJ 
• Mourier E. (1955) Elements aleatoires dans un espace de Banach (These). Paris.
• Prokhorov Yu.V. (1999) Random element. Probability and Mathematical statistics. Encyclopedia. Moscow: "Great Russian Encyclopedia", P.623.

外部リンク

• Entry in Springer Encyclopedia of Mathematics

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
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