残差平方和

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残差平方和

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/20 13:41 UTC 版)

統計学において、残差平方和（ざんさへいほうわ、英: residual sum of squares, RSS）は、残差の平方（二乗）の和である。残差二乗和、SSR（sum of squared residuals）やSSE（sum of squared errors of prediction）とも呼ばれる。残差平方和はデータと推定モデルとの差異を評価している尺度である。小さいRSSの値はデータに対してモデルがぴったりとフィットしていること示している。

一般的に、平方和の分解

(全平方和) = (回帰平方和) + (残差平方和)

が成り立つ。

説明変数

単一の説明変数を持つモデルでは、RSSは以下の式で与えられる。

$\mathrm {RSS} =\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}$

この時 y_i は i 番目の変数の値、x_i は i 番目の説明変数の値、$f(x_{i})$（${\hat {y_{i}}}$とも）はy_iの予測値である。標準線形単純回帰モデルでは、 $y_{i}=a+bx_{i}+\varepsilon _{i}\,$（a および b は係数、y および x はそれぞれ従属変数および独立変数、εは誤差項）である。残差平方和は ε_i の推定量の平方の和であり以下の式で表わされる。

$\mathrm {RSS} =\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-(\alpha +\beta x_{i}))^{2},$

この時、α は定数項 $a$ の推定値、β は回帰係数 b の推定値である。

関連項目

• 残差
• 決定係数
• 自由度
• カイ二乗分布